Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=|x^{2} + 5 x + 4|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение

Функция

y=|x^{2} + 5 x + 4|

содержит модуль. Разложим подмодульное выражение на множители:

x^{2} + 5 x + 4=\left(x + 1\right) \left(x + 4\right).

Корни:

x=-4

x=-1

.

Раскрываем модуль:

y=\begin{cases}x^{2} + 5 x + 4, & x\leqslant -4\ \text{или}\ x\geqslant -1,\\- x^{2} - 5 x - 4, & -4<x<-1.\end{cases}

Точки, соответствующие корням подмодульного выражения, принадлежат внешним участкам. Во внутреннем участке они используются только как граничные; на итоговом графике каждая из этих точек отмечается один раз и является закрашенной.
Для параболы на внешних промежутках

y=x^{2} + 5 x + 4

имеем

a=1

b=5

c=4

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2\cdot(1)}=-2{,}5.

y_0=1\cdot(-2{,}5)^2+5\cdot(-2{,}5)+4=-2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-2{,}5; -2{,}25)

. Полученная вершина лежит между корнями и потому не принадлежит внешним участкам графика.
Для параболы на промежутке между корнями

y=- x^{2} - 5 x - 4

имеем

a=-1

b=-5

c=-4

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-5}{2\cdot(-1)}=-2{,}5.

y_0=-1\cdot(-2{,}5)^2-5\cdot(-2{,}5)-4=2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-2{,}5; 2{,}25)

.

Таблица значений для внешних участков:

Таблица значений для внутреннего участка:

График функции:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид

y=m

. Анализируя график, определим возможное число её общих точек с графиком функции.

График для анализа значений параметра:

Наибольшее число общих точек графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно

4

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи