Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=|x^{2} + 3 x + 2|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение

Функция

y=|x^{2} + 3 x + 2|

содержит модуль. Разложим подмодульное выражение на множители:

x^{2} + 3 x + 2=\left(x + 1\right) \left(x + 2\right).

Корни:

x=-2

x=-1

.

Раскрываем модуль:

y=\begin{cases}x^{2} + 3 x + 2, & x\leqslant -2\ \text{или}\ x\geqslant -1,\\- x^{2} - 3 x - 2, & -2<x<-1.\end{cases}

Точки, соответствующие корням подмодульного выражения, принадлежат внешним участкам. Во внутреннем участке они используются только как граничные; на итоговом графике каждая из этих точек отмечается один раз и является закрашенной.
Для параболы на внешних промежутках

y=x^{2} + 3 x + 2

имеем

a=1

b=3

c=2

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot(1)}=-1{,}5.

y_0=1\cdot(-1{,}5)^2+3\cdot(-1{,}5)+2=-0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-1{,}5; -0{,}25)

. Полученная вершина лежит между корнями и потому не принадлежит внешним участкам графика.
Для параболы на промежутке между корнями

y=- x^{2} - 3 x - 2

имеем

a=-1

b=-3

c=-2

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}=-1{,}5.

y_0=-1\cdot(-1{,}5)^2-3\cdot(-1{,}5)-2=0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-1{,}5; 0{,}25)

.

Таблица значений для внешних участков:

Таблица значений для внутреннего участка:

График функции:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид

y=m

. Анализируя график, определим возможное число её общих точек с графиком функции.

График для анализа значений параметра:

Наибольшее число общих точек графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно

4

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи