Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=|x^{2} - 4 x + 3|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение

Функция

y=|x^{2} - 4 x + 3|

содержит модуль. Разложим подмодульное выражение на множители:

x^{2} - 4 x + 3=\left(x - 3\right) \left(x - 1\right).

Корни:

x=1

x=3

.

Раскрываем модуль:

y=\begin{cases}x^{2} - 4 x + 3, & x\leqslant 1\ \text{или}\ x\geqslant 3,\\- x^{2} + 4 x - 3, & 1<x<3.\end{cases}

Точки, соответствующие корням подмодульного выражения, принадлежат внешним участкам. Во внутреннем участке они используются только как граничные; на итоговом графике каждая из этих точек отмечается один раз и является закрашенной.
Для параболы на внешних промежутках

y=x^{2} - 4 x + 3

имеем

a=1

b=-4

c=3

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot(1)}=2.

y_0=1\cdot(2)^2-4\cdot(2)+3=-1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(2; -1)

. Полученная вершина лежит между корнями и потому не принадлежит внешним участкам графика.
Для параболы на промежутке между корнями

y=- x^{2} + 4 x - 3

имеем

a=-1

b=4

c=-3

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2.

y_0=-1\cdot(2)^2+4\cdot(2)-3=1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(2; 1)

.

Таблица значений для внешних участков:

Таблица значений для внутреннего участка:

График функции:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид

y=m

. Анализируя график, определим возможное число её общих точек с графиком функции.

График для анализа значений параметра:

Наибольшее число общих точек графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно

4

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи