Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=|x^{2} - 9|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение

Функция

y=|x^{2} - 9|

содержит модуль. Разложим подмодульное выражение на множители:

x^{2} - 9=\left(x - 3\right) \left(x + 3\right).

Корни:

x=-3

x=3

.

Раскрываем модуль:

y=\begin{cases}x^{2} - 9, & x\leqslant -3\ \text{или}\ x\geqslant 3,\\9 - x^{2}, & -3<x<3.\end{cases}

Точки, соответствующие корням подмодульного выражения, принадлежат внешним участкам. Во внутреннем участке они используются только как граничные; на итоговом графике каждая из этих точек отмечается один раз и является закрашенной.
Для параболы на внешних промежутках

y=x^{2} - 9

имеем

a=1

b=0

c=-9

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(1)}=0.

y_0=1\cdot(0)^2+0\cdot(0)-9=-9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; -9)

. Полученная вершина лежит между корнями и потому не принадлежит внешним участкам графика.
Для параболы на промежутке между корнями

y=9 - x^{2}

имеем

a=-1

b=0

c=9

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(-1)}=0.

y_0=-1\cdot(0)^2+0\cdot(0)+9=9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; 9)

.

Таблица значений для внешних участков:

Таблица значений для внутреннего участка:

График функции:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид

y=m

. Анализируя график, определим возможное число её общих точек с графиком функции.

График для анализа значений параметра:

Наибольшее число общих точек графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно

4

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи