Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение(x+1)a2+(x3+x+2)a−x4+x3+2x2=0имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:(x+1)a2+(x+1)(x2−x+2)a−x2(x+1)(x−2)=0;(x+1)(a2+(x2−x+2)a−x2(x−2))=0.По теореме, обратной теореме Виета, квадратное уравнение a2+(x2−x+2)a−x2(x−2)=0 имеет следующие корни:a1=x−2,a2=−x2.Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:x=−1,a=x−2,a=−x2.Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=−1 задаёт вертикальную прямую. 2. Уравнение a=x−2 задаёт прямую с угловым коэффициентом 1. 3. Уравнение a=−x2 задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в (0;0).
Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямых x=−1 и a=x−2:a=−1−2=−3.Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;−3).
Пересечение прямой x=−1 и параболы a=−x2:a=−(−1)2=−1.Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;−1).
Пересечение прямой a=x−2 и параболы a=−x2:x−2=−x2,x2+x−2=0,(x+2)(x−1)=0.Получаем, что точки пересечения имеют координаты: (−2;−4) и (1;−1).
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через точку (1;−1), тогда a=−1.
Положение II: прямая проходит через точку (0;0), тогда a=0. Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше II, не включая II, а также положению I.
