Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x+1)a^2 + (x^3+x+2)a - x^4 + x^3 + 2x^2 = 0

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

(x+1)a^2 + (x+1)(x^2-x+2)a - x^2(x+1)(x-2) = 0;

(x+1)(a^2 + (x^2-x+2)a - x^2(x-2)) = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, квадратное уравнение

a^2 + (x^2-x+2)a - x^2(x-2) = 0

имеет следующие корни:

a_1 = x-2, \quad a_2 = -x^2.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} &x = -1, \\ &a = x-2, \\ &a = - x^2.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=-1

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

a=x-2

задаёт прямую с угловым коэффициентом 1.
3. Уравнение

a=-x^2

задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в

(0;0)

.

Найдём точки пересечения графиков:

Пересечение прямых

x=-1

a=x-2

a = -1 - 2 = -3.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-1; -3)

.

Пересечение прямой

x=-1

и параболы

a=-x^2

a = -(-1)^2 = -1.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-1; -1)

.

Пересечение прямой

a=x-2

и параболы

a=-x^2

x-2 = -x^2, \quad x^2+x-2=0, \quad (x+2)(x-1) = 0.

Получаем, что точки пересечения имеют координаты:

(-2; -4)

(1; -1)

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через точку

(1;-1)

, тогда

a = -1

.

Положение II: прямая проходит через точку

(0;0)

, тогда

a = 0

.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше II, не включая II, а также положению I.

Значит,

a \in \{-1\} \cup (0; +\infty)

.

Ответ:

a \in \{-1\} \cup (0; +\infty)

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи