Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x4+a2x2−4ax2=4x2+4a2−16a имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:
x2(x2+a2−4a)=4(x2+a2−4a);(x2+a2−4a)(x2−4)=0;(x2+(a−2)2−4)(x−2)(x+2)=0. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
x2+(a−2)2=4,x=−2,x=2. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x2+(a−2)2=4 задаёт окружность с центром в точке (0;2) и радиусом 2. 2. Уравнение x=−2 задаёт вертикальную прямую.
3. Уравнение x=2 задаёт вертикальную прямую.
Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой x=−2 и окружности x2+(a−2)2=4:(−2)2+(a−2)2=4,(a−2)2=0,a=2. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−2;2).
Пересечение прямой x=2 и окружности x2+(a−2)2=4:22+(a−2)2=4,(a−2)2=0,a=2. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (2;2). Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через самую верхнюю точку окружности x2+(a−2)2=4, тогда a=2+2=4.
Положение II: прямая проходит через точки (−2;2) и (2;2), тогда a=2.
\Положение III: прямая проходит через самую нижнюю точку окружности x2+(a−2)2=4, тогда a=2−2=0.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже III, выше I, не включая I и III, а также положению II.
