Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x^4 + a^2x^2 - 4ax^2 = 4x^2 + 4a^2 - 16a

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

x^2(x^2 + a^2 - 4a) = 4(x^2 + a^2 - 4a);

(x^2 + a^2 - 4a)(x^2 - 4) = 0;

(x^2 + (a - 2)^2-4)(x - 2) (x + 2) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} & x^2 + (a - 2)^2 = 4, \\ & x = -2, \\ & x = 2.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x^2 + (a - 2)^2 = 4

задаёт окружность с центром в точке

(0;2)

и радиусом

2

.
2. Уравнение

x=-2

задаёт вертикальную прямую.
3. Уравнение

x=2

задаёт вертикальную прямую.

Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой

x=-2

и окружности

x^2 + (a - 2)^2 = 4

(-2)^2 + (a - 2)^2 = 4, \quad (a - 2)^2 = 0, \quad a = 2.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-2; 2)

.

Пересечение прямой

x=2

и окружности

x^2 + (a - 2)^2 = 4

2^2 + (a - 2)^2 = 4, \quad (a - 2)^2 = 0, \quad a = 2.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(2; 2)

.
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через самую верхнюю точку окружности

x^2 + (a - 2)^2 = 4

, тогда

a = 2 + 2 = 4

.

Положение II: прямая проходит через точки

(-2;2)

(2;2)

, тогда

a = 2

.

\Положение III: прямая проходит через самую нижнюю точку окружности

x^2 + (a - 2)^2 = 4

, тогда

a = 2 - 2 = 0

.

Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже III, выше I, не включая I и III, а также положению II.

Значит,

a \in (-\infty; 0) \cup \{2\} \cup (4;+\infty)

.

Ответ:

a \in (-\infty; 0) \cup \{2\} \cup (4;+\infty)

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи