Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
ax4+x3+(a3−2a)x2+(a2−2)x=ax3+x2+(a3−2a)x+a2−2 имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:
ax4+x3+(a3−2a)x2+(a2−2)x−ax3−x2−(a3−2a)x−(a2−2)=0;ax3(x−1)+x2(x−1)+(a3−2a)x(x−1)+(a2−2)(x−1)=0;(x−1)(ax3+x2+(a3−2a)x+(a2−2))=0;(x−1)(ax3+x2+a(a2−2)x+(a2−2))=0;(x−1)(x2(ax+1)+(a2−2)(ax+1)=0;(x−1)(x2+a2−2)(ax+1)=0. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
x=1,x2+a2=2,ax=−1. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=1 задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение x2+a2=2 задаёт окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2. 3. Уравнение ax=−1 (при a=0) задаёт гиперболу a=−x1.
Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой x=1 и окружности x2+a2=2:12+a2=2,a2=1,a=±1. Получаем, что точки пересечения имеют координаты (1;1) и (1;−1).
Пересечение прямой x=1 и гиперболы ax=−1: a=−x1=−11=−1. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;−1).
Пересечение окружности x2+a2=2 и гиперболы ax=−1:
Подставим a=−x1 в уравнение окружности:
x2+(−x1)2=2; x2+x21=2;⋅x2=0x4−2x2+1=0,(x2−1)=0,x2=1,x=±1. Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через самую верхнюю точку окружности x2+a2=2, тогда a=0+2=2.
Положение II: прямая проходит через точки (−1;1) и (1;1), тогда a=1.
Положение III: прямая проходит через точку (1;−1), тогда a=−1.
Положение IV: прямая проходит через самую нижнюю точку окружности x2+a2=2, тогда a=0−2=−2.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше I, ниже IV, не включая I и IV, а также положения II и III.
