Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

ax^4 + x^3 + (a^3 - 2a)x^2 + (a^2 - 2)x = ax^3 + x^2 + (a^3 - 2a)x + a^2 - 2

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

ax^4 + x^3 + (a^3 - 2a)x^2 + (a^2 - 2)x - ax^3 - x^2 - (a^3 - 2a)x - (a^2 - 2) = 0;

ax^3(x-1) + x^2(x-1) + (a^3 - 2a)x(x-1) + (a^2 - 2)(x-1) = 0;

(x-1)(ax^3 + x^2 + (a^3 - 2a)x + (a^2 - 2)) = 0;

(x-1)(ax^3 + x^2 + a(a^2 - 2)x + (a^2 - 2)) = 0;

(x-1)(x^2(ax + 1) + (a^2 - 2)(ax + 1) = 0;

(x-1)(x^2 + a^2 - 2)(ax + 1) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} & x = 1, \\ & x^2 + a^2 = 2, \\ & ax = - 1.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=1

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

x^2 + a^2 = 2

задаёт окружность с центром в точке

(0;0)

и радиусом

\sqrt{2}

.
3. Уравнение

ax=-1

(при

a \neq 0

) задаёт гиперболу

a = -\dfrac{1}{x}

.

Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой

x=1

и окружности

x^2 + a^2 = 2

1^2 + a^2 = 2, \quad a^2 = 1, \quad a = \pm 1.

Получаем, что точки пересечения имеют координаты

(1; 1)

(1; -1)

.

Пересечение прямой

x=1

и гиперболы

ax=-1

a = -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{1} = -1.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; -1)

.

Пересечение окружности

x^2 + a^2 = 2

и гиперболы

ax=-1

:

Подставим

a = -\dfrac{1}{x}

в уравнение окружности:

x^2 + \left(-\dfrac{1}{x}\right)^2 = 2;

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 2; \ \big|\cdot x^2\neq 0

x^4 - 2x^2 +1 = 0, \quad (x^2-1) = 0, \quad x^2 = 1, \quad x= \pm 1.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через самую верхнюю точку окружности

x^2 + a^2 = 2

, тогда

a = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}

.

Положение II: прямая проходит через точки

(-1;1)

(1;1)

, тогда

a = 1

.

Положение III: прямая проходит через точку

(1;-1)

, тогда

a = -1

.

Положение IV: прямая проходит через самую нижнюю точку окружности

x^2 + a^2 = 2

, тогда

a = 0 - \sqrt{2} = -\sqrt{2}

.

Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше I, ниже IV, не включая I и IV, а также положения II и III.

Значит,

a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup \{\pm1\} \cup (\sqrt{2};+\infty)

.

Ответ:

a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup \{\pm1\} \cup (\sqrt{2};+\infty)

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи