Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x^2-x)a^2 - (x^4 - x^3 - x + 1)a - x^3 + x^2 = 0

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

x(x-1)a^2 - (x^3(x - 1) - (x - 1))a - x^2(x - 1) = 0;

x(x-1)a^2 - (x^3-1)(x - 1)a - x^2(x - 1) = 0;

(x-1)(xa^2 - (x^3-1)a - x^2) = 0;

(x-1)(xa^2 - x^3a + a - x^2) = 0;

(x-1)(xa(a - x^2) + (a - x^2)) = 0;

(x-1)(xa + 1)(a - x^2) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} &x = 1, \\ &ax = -1, \\ &a = x^2.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=1

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

ax=-1

(при

a \neq 0

) задаёт гиперболу

a = -\dfrac{1}{x}

.
3. Уравнение

a=x^2

задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в

(0;0)

.

Найдём точки пересечения графиков:

Пересечение прямой

x=1

и параболы

a=x^2

a = 1^2 = 1.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; 1)

.

Пересечение прямой

x=1

и гиперболы

a=-\dfrac{1}{x}

a = -\dfrac{1}{1} = -1.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; -1)

.

Пересечение параболы

a=x^2

и гиперболы

a=-\dfrac{1}{x}

x^2 = -\dfrac{1}{x}, \quad x^3 = -1, \quad x = -1.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-1; 1)

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через точку

(1;-1)

, тогда

a = -1

.

Положение II: прямая проходит через точку

(0;0)

, тогда

a = 0

.

Положение III: прямая проходит через точки

(1;1)

(-1; 1)

, тогда

a = 1

.

Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, между I и II, не включая I и включая II, а также положению III.

Значит,

a \in (-\infty; -1) \cup (-1;0] \cup \{1\}

.

Ответ:

a \in (-\infty; -1) \cup (-1;0] \cup \{1\}

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи