Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ПараметрыЕГЭ 2026 (Основная волна)
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых уравнение (x2−x)a2−(x4−x3−x+1)a−x3+x2=0(x^2-x)a^2 - (x^4 - x^3 - x + 1)a - x^3 + x^2 = 0(x2−x)a2−(x4−x3−x+1)a−x3+x2=0
имеет ровно 222 решения.

Решение

Упростим уравнение: x(x−1)a2−(x3(x−1)−(x−1))a−x2(x−1)=0;x(x-1)a^2 - (x^3(x - 1) - (x - 1))a - x^2(x - 1) = 0;x(x−1)a2−(x3(x−1)−(x−1))a−x2(x−1)=0; x(x−1)a2−(x3−1)(x−1)a−x2(x−1)=0;x(x-1)a^2 - (x^3-1)(x - 1)a - x^2(x - 1) = 0;x(x−1)a2−(x3−1)(x−1)a−x2(x−1)=0; (x−1)(xa2−(x3−1)a−x2)=0;(x-1)(xa^2 - (x^3-1)a - x^2) = 0;(x−1)(xa2−(x3−1)a−x2)=0; (x−1)(xa2−x3a+a−x2)=0;(x-1)(xa^2 - x^3a + a - x^2) = 0;(x−1)(xa2−x3a+a−x2)=0; (x−1)(xa(a−x2)+(a−x2))=0;(x-1)(xa(a - x^2) + (a - x^2)) = 0;(x−1)(xa(a−x2)+(a−x2))=0; (x−1)(xa+1)(a−x2)=0.(x-1)(xa + 1)(a - x^2) = 0.(x−1)(xa+1)(a−x2)=0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
[x=1,ax=−1,a=x2.\left[
\begin{aligned}
&x = 1, \\
&ax = -1, \\
&a = x^2.
\end{aligned}
\right.​​x=1,ax=−1,a=x2.​
Будем решать задачу графически в системе OxaOxaOxa:

1. Уравнение x=1x=1x=1 задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение ax=−1ax=-1ax=−1 (при a≠0a \neq 0a=0) задаёт гиперболу a=−1xa = -\dfrac{1}{x}a=−x1​.
3. Уравнение a=x2a=x^2a=x2 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в (0;0)(0;0)(0;0).


Найдём точки пересечения графиков:

Пересечение прямой x=1x=1x=1 и параболы a=x2a=x^2a=x2: a=12=1.a = 1^2 = 1.a=12=1.
Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;1)(1; 1)(1;1). \\

Пересечение прямой x=1x=1x=1 и гиперболы a=−1xa=-\dfrac{1}{x}a=−x1​:
a=−11=−1.a = -\dfrac{1}{1} = -1.a=−11​=−1.
Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;−1)(1; -1)(1;−1). \\

Пересечение параболы a=x2a=x^2a=x2 и гиперболы a=−1xa=-\dfrac{1}{x}a=−x1​:
x2=−1x,x3=−1,x=−1.x^2 = -\dfrac{1}{x}, \quad x^3 = -1, \quad x = -1.x2=−x1​,x3=−1,x=−1.
Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;1)(-1; 1)(−1;1).

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Изображение 1

Положение I: прямая проходит через точку (1;−1)(1;-1)(1;−1), тогда a=−1a = -1a=−1.

Положение II: прямая проходит через точку (0;0)(0;0)(0;0), тогда a=0a = 0a=0.

Положение III: прямая проходит через точки (1;1)(1;1)(1;1) и (−1;1)(-1; 1)(−1;1), тогда a=1a = 1a=1.

Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, между I и II, не включая I и включая II, а также положению III.

Значит, a∈(−∞;−1)∪(−1;0]∪{1}a \in (-\infty; -1) \cup (-1;0] \cup \{1\}a∈(−∞;−1)∪(−1;0]∪{1}.

Ответ: a∈(−∞;−1)∪(−1;0]∪{1}a \in (-\infty; -1) \cup (-1;0] \cup \{1\}a∈(−∞;−1)∪(−1;0]∪{1}.