Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 8x + a(x - 1)x = 5x^3 - 35x^2 + 70x - 40 + 5a(x - 1)

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

x(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 + a(x - 1)) = 5(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 + a(x - 1));

(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 + a(x - 1)) (x - 5) = 0;

(x^2(x-1) - 6x(x-1) + 8(x - 1) + a(x - 1)) (x - 5) = 0;

(x^2 - 6x + 8 + a)(x-1)(x - 5) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} & a = - x^2 + 6x - 8, \\ & x = 1, \\ & x = 5.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

a = - x^2 + 6x - 8, ~ a = -(x-3)^2 +1

задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке

(3;1)

.
2. Уравнение

x=1

задаёт вертикальную прямую.
3.Уравнение

x=5

задаёт вертикальную прямую.

Найдём точки пересечения графиков: \par\medskip
Пересечение прямой

x=1

и параболы

a = -(x-3)^2 +1

a = -(1-3)^2 + 1 = -3.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; -3)

.

Пересечение прямой

x=5

и параболы

a = -(x-3)^2 +1

a = -(5-3)^2 + 1 = -3.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(5; -3)

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через вершину параболы

a = -(x-3)^2 +1

, тогда

a = 1

.

Положение II: прямая проходит через точки

(1;-3)

(5;-3)

, тогда

a = -3

.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше I, не включая I, а также положению II.

Значит,

a \in \{-3\} \cup (1;+\infty)

.
Ответ:

a \in \{-3\} \cup (1;+\infty)

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи