Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x4−7x3+14x2−8x+a(x−1)x=5x3−35x2+70x−40+5a(x−1) имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:
x(x3−7x2+14x−8+a(x−1))=5(x3−7x2+14x−8+a(x−1));(x3−7x2+14x−8+a(x−1))(x−5)=0;(x2(x−1)−6x(x−1)+8(x−1)+a(x−1))(x−5)=0;(x2−6x+8+a)(x−1)(x−5)=0. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
a=−x2+6x−8,x=1,x=5. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение a=−x2+6x−8,a=−(x−3)2+1 задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке (3;1). 2. Уравнение x=1 задаёт вертикальную прямую.
3.Уравнение x=5 задаёт вертикальную прямую.
Найдём точки пересечения графиков: \par\medskip
Пересечение прямой x=1 и параболы a=−(x−3)2+1:a=−(1−3)2+1=−3. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;−3).
Пересечение прямой x=5 и параболы a=−(x−3)2+1:a=−(5−3)2+1=−3.
Получаем, что точка пересечения имеет координаты (5;−3).
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I:}прямая проходит через вершину параболы a=−(x−3)2+1, тогда a=1.
Положение II: прямая проходит через точки (1;−3) и (5;−3), тогда a=−3. Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые выше I, не включая I, а также положению II.
