Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(ax2+2x)2−(a2+a+2)(ax2+2x)+a2(a+2)=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть t=ax2+2x, тогда уравнение примет вид:
t2−(a2+a+2)t+a2(a+2)=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем корни:
t=a2,t=a+2. После обратной замены получаем:
[ax2+2x=a2,(1)ax2+2x=a+2.(2) При a=0: [2x=0,2x=2;[x=0,x=1. Получили 2 решения, поэтому a=0 -- часть ответа.
Пусть D1 и D2 -- дискриминанты (1) и (2) соответственно, найдём их.
D1=4+4a3;D2=4+4a(a+2)=4a2+8a+4=4(a+1)2⩾0. Тогда исходное уравнение будет иметь два корня в следующих случаях:
а)
{D1>0,D2<0;{4+4a3>0,4(a+1)2<0;a∈∅. б)
{D1<0,D2>0;{4+4a3<0,4(a+1)2>0;{4(1+a3)<0,4(a+1)2>0;{a<−1,a=−1;a<−1. в) Уравнения (1) и (2) совпадают, это происходит при
a2=a+2,a2−a−2=0,[a=−1,a=2. При a=−1:−x2+2x−1=0,(x+1)2=0,x=−1. Получили только одно решение, не подходит.
При a=2: 2x2+2x−4=0,x2+x−2=0,[x=1,x=−2. Получили только два решения, поэтому a=2 -- часть ответа.
Объединяя все полученные множества, получаем, что a∈(−∞;−1)∪{0;2}.
