Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (резерв)

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

(ax^2 + 2x)^2 - (a^2 + a + 2)(ax^2 + 2x) + a^2(a + 2) = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

t = ax^2 + 2x

, тогда уравнение примет вид:

t^2 - (a^2 + a + 2)t + a^2(a+2) = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, получаем корни:

t = a^2, \quad t = a + 2.

После обратной замены получаем:

\left[ \begin{gathered} ax^2 + 2x = a^2, \ \quad (1) \\ ax^2 + 2x = a + 2. \ \quad (2) \end{gathered}\right.

При

a = 0

\left[ \begin{gathered} 2x = 0, \ \\ 2x = 2; \ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} x = 0, \ \\ x = 1. \ \end{gathered}\right.

Получили 2 решения, поэтому

a = 0

-- часть ответа.

Пусть

D_1

D_2

-- дискриминанты (1) и (2) соответственно, найдём их.

D_1 = 4 + 4a^3; \quad D_2 = 4 + 4a(a+2) = 4a^2 + 8a + 4 = 4(a+1)^2 \geqslant 0.

Тогда исходное уравнение будет иметь два корня в следующих случаях:

а)

\begin{cases} D_1 > 0, \\ D_2 < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 4 + 4a^3 > 0, \\ 4(a+1)^2 < 0; \end{cases} \quad a \in \varnothing.

б)

\begin{cases} D_1 < 0, \\ D_2 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 4 + 4a^3 < 0, \\ 4(a+1)^2 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 4(1+a^3) < 0, \\ 4(a+1)^2 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} a < -1, \\ a \neq -1; \end{cases} \quad a < -1.

в) Уравнения (1) и (2) совпадают, это происходит при

a^2 = a + 2, \quad a^2 - a - 2 = 0, \quad \left[ \begin{gathered} a = -1, \ \\ a = 2. \ \end{gathered}\right.

При

a = -1

-x^2 + 2x - 1 = 0, \quad (x+1)^2 = 0, \quad x = -1.

Получили только одно решение, не подходит.

При

a = 2

2x^2 + 2x - 4 = 0, \quad x^2 + x - 2 = 0, \quad \left[ \begin{gathered} x = 1, \ \\ x = -2. \ \end{gathered}\right.

Получили только два решения, поэтому

a = 2

-- часть ответа.

Объединяя все полученные множества, получаем, что

a \in (-\infty; -1) \cup \{0; 2\}

.

Ответ:

a \in (-\infty; -1) \cup \{0; 2\}

Похожие задачи