Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнениеax4−2x3+(a3−a)x2−(2a2−2)x=−ax3+2x2−(a3−a)x+2a2−2имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:x(ax3−2x2+(a3−a)x−(2a2−2))+(ax3−2x2+(a3−a)x−(2a2−2))=0;(x+1)(ax3−2x2+(a3−a)x−(2a2−2))=0;(x+1)(ax(x2+a2−1)−2(x2+a2−1))=0;(x+1)(ax−2)(x2+a2−1)=0.Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:x=−1,ax=2,x2+a2=1.Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=−1 задаёт вертикальную прямую. 2. Уравнение ax=2 (при a=0) задаёт гиперболу a=x2. 3.]Уравнение x2+a2=1 задаёт окружность с центром в (0;0) и радиусом 1.
Найдём точки пересечения графиков: Пересечение прямой x=−1 и окружности x2+a2=1:(−1)2+a2=1,a=0.Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;0). Пересечение прямой x=−1 и гиперболы a=x2:a(−1)=2,a=−2.Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;−2). Пересечение гиперболы и окружности: Подставим a=x2 в уравнение окружности:x2+x24=1;x4−x2+4=0.Дискриминант D=1−16<0, действительных корней нет, пересечений нет.
Касание окружности горизонтальных прямых происходит в точках (0;1) и (0;−1), то есть при a=1 и a=−1.
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I:}прямая касается окружности сверху, a=1.
Положение II:}прямая проходит через точку пересечения прямой и окружности, a=0.
Положение III: прямая касается окружности снизу, a=−1.
Положение IV: прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы, a=−2.
Нам подходят два решения, что соответствует всем положениям выше I, положению II, а также положениям между III и IV и ниже IV.
