Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
x=−1,ax=2,x2+a2=1. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=−1 задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение ax=2 (при a=0) задаёт гиперболу a=x2. 3.]Уравнение x2+a2=1 задаёт окружность с центром в (0;0) и радиусом 1.
Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой x=−1 и окружности x2+a2=1:(−1)2+a2=1,a=0. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;0). Пересечение прямой x=−1 и гиперболы a=x2:a(−1)=2,a=−2. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (−1;−2). Пересечение гиперболы и окружности:
Подставим a=x2 в уравнение окружности:
x2+x24=1;x4−x2+4=0. Дискриминант D=1−16<0, действительных корней нет, пересечений нет.
Касание окружности горизонтальных прямых происходит в точках (0;1) и (0;−1), то есть при a=1 и a=−1.
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I:}прямая касается окружности сверху, a=1.
Положение II:}прямая проходит через точку пересечения прямой и окружности, a=0.
Положение III: прямая касается окружности снизу, a=−1.
Положение IV: прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы, a=−2.
Нам подходят два решения, что соответствует всем положениям выше I, положению II, а также положениям между III и IV и ниже IV.
