Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

ax^4 - 2x^3 + (a^3 - a)x^2 - (2a^2 - 2)x = -ax^3 + 2x^2 - (a^3 - a)x + 2a^2 - 2

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

x(ax^3 - 2x^2 + (a^3-a)x - (2a^2-2)) + (ax^3 - 2x^2 + (a^3-a)x - (2a^2-2)) = 0;

(x+1)(ax^3 - 2x^2 + (a^3-a)x - (2a^2-2)) = 0;

(x+1)(ax(x^2+a^2-1) - 2(x^2+a^2-1)) = 0;

(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} &x = -1, \\ &ax = 2, \\ &x^2 + a^2 = 1.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=-1

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

ax=2

(при

a \neq 0

) задаёт гиперболу

a = \dfrac{2}{x}

.
3.]Уравнение

x^2 + a^2 = 1

задаёт окружность с центром в

(0;0)

и радиусом

1

.

Найдём точки пересечения графиков:
Пересечение прямой

x=-1

и окружности

x^2+a^2=1

(-1)^2 + a^2 = 1, \ a = 0.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-1; 0)

.
Пересечение прямой

x=-1

и гиперболы

a = \dfrac{2}{x}

a(-1) = 2 , \ a = -2.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(-1; -2)

.
Пересечение гиперболы и окружности:
Подставим

a = \dfrac{2}{x}

в уравнение окружности:

x^2 + \frac{4}{x^2} = 1;

x^4 - x^2 + 4 = 0.

Дискриминант

D = 1 - 16 < 0

, действительных корней нет, пересечений нет.

Касание окружности горизонтальных прямых происходит в точках

(0; 1)

(0; -1)

, то есть при

a=1

a=-1

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I:}прямая касается окружности сверху,

a = 1

.

Положение II:}прямая проходит через точку пересечения прямой и окружности,

a = 0

.

Положение III: прямая касается окружности снизу,

a = -1

.

Положение IV: прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы,

a = -2

.

Нам подходят два решения, что соответствует всем положениям выше I, положению II, а также положениям между III и IV и ниже IV.

Значит,

a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup \{0\} \cup (1; +\infty)

.

Ответ:

a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup \{0\} \cup (1; +\infty)

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи