Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} + 3 x - 4 \left|{x + 2}\right| + 2.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+2=0 \Rightarrow x=-2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-2

, тогда

|x+2|=-(x+2)

.
Получаем

y=x^{2} + 7 x + 10

.

Случай

2

x\geqslant -2

, тогда

|x+2|=x+2

.
Получаем

y=x^{2} - x - 6

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} + 7 x + 10, & x<-2,\\x^{2} - x - 6, & x\geqslant -2.\end{cases}

В граничной точке

x=-2

проверим значения обеих формул:

y_1(-2)=(-2)^{2} + 7\cdot (-2) + 10=0,\qquad y_2(-2)=(-2)^{2} - (-2) - 6=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-2; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} + 7 x + 10

имеем

a=1

b=7

c=10

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{7}{2\cdot(1)}=-3{,}5.

y_0=1\cdot(-3{,}5)^2+7\cdot(-3{,}5)+10=-2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-3{,}5; -2{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - x - 6

имеем

a=1

b=-1

c=-6

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2\cdot(1)}=0{,}5.

y_0=1\cdot(0{,}5)^2-1\cdot(0{,}5)-6=-6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0{,}5; -6{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-2{,}25\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи