Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2022 (досрок)
Скопировать ссылку
ec950be5
Решите неравенство
log
2
(
32
x
)
−
1
log
2
2
x
−
log
2
x
5
⩾
−
1.
\dfrac{\log_2(32x)-1}{\log_2^2 x-\log_2 x^5}\geqslant -1.
lo
g
2
2
x
−
lo
g
2
x
5
lo
g
2
(
32
x
)
−
1
⩾
−
1.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем выражение:
log
2
(
32
x
)
=
log
2
32
+
log
2
x
=
5
+
log
2
x
,
\log_2(32x)=\log_2 32+\log_2 x=5+\log_2 x,
lo
g
2
(
32
x
)
=
lo
g
2
32
+
lo
g
2
x
=
5
+
lo
g
2
x
,
log
2
x
5
=
5
log
2
x
.
\log_2 x^5=5\log_2 x.
lo
g
2
x
5
=
5
lo
g
2
x
.
Тогда неравенство принимает вид
log
2
x
+
4
log
2
2
x
−
5
log
2
x
⩾
−
1.
\dfrac{\log_2 x+4}{\log_2^2 x-5\log_2 x}\geqslant -1.
lo
g
2
2
x
−
5
lo
g
2
x
lo
g
2
x
+
4
⩾
−
1.
Сделаем замену:
t
=
log
2
x
.
t=\log_2 x.
t
=
lo
g
2
x
.
Получаем неравенство
t
+
4
t
2
−
5
t
⩾
−
1
,
\dfrac{t+4}{t^2-5t}\geqslant -1,
t
2
−
5
t
t
+
4
⩾
−
1
,
t
+
4
t
2
−
5
t
+
1
⩾
0.
\dfrac{t+4}{t^2-5t}+1\geqslant 0.
t
2
−
5
t
t
+
4
+
1
⩾
0.
Приведём к общему знаменателю:
t
+
4
+
t
2
−
5
t
t
(
t
−
5
)
⩾
0
,
\dfrac{t+4+t^2-5t}{t(t-5)}\geqslant 0,
t
(
t
−
5
)
t
+
4
+
t
2
−
5
t
⩾
0
,
t
2
−
4
t
+
4
t
(
t
−
5
)
⩾
0
,
\dfrac{t^2-4t+4}{t(t-5)}\geqslant 0,
t
(
t
−
5
)
t
2
−
4
t
+
4
⩾
0
,
(
t
−
2
)
2
t
(
t
−
5
)
⩾
0.
\dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0.
t
(
t
−
5
)
(
t
−
2
)
2
⩾
0.
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Получаем:
t
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
{
2
}
∪
(
5
;
+
∞
)
.
t\in(-\infty;0)\cup\{2\}\cup(5;+\infty).
t
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
{
2
}
∪
(
5
;
+
∞
)
.
Вернёмся к переменной
x
x
x
:
log
2
x
<
0
⟺
0
<
x
<
1
,
\log_2 x < 0 \iff 0 < x < 1,
lo
g
2
x
<
0
⟺
0
<
x
<
1
,
log
2
x
=
2
⟺
x
=
4
,
\log_2 x = 2 \iff x = 4,
lo
g
2
x
=
2
⟺
x
=
4
,
log
2
x
>
5
⟺
x
>
32.
\log_2 x > 5 \iff x > 32.
lo
g
2
x
>
5
⟺
x
>
32.
Следовательно,
x
∈
(
0
;
1
)
∪
{
4
}
∪
(
32
;
+
∞
)
.
x \in (0; 1) \cup \{4\} \cup (32; +\infty).
x
∈
(
0
;
1
)
∪
{
4
}
∪
(
32
;
+
∞
)
.
Ответ:
(
0
;
1
)
∪
{
4
}
∪
(
32
;
+
∞
)
(0; 1) \cup \{4\} \cup (32; +\infty)
(
0
;
1
)
∪
{
4
}
∪
(
32
;
+
∞
)
.
