Для школьников
Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Логарифмические неравенства
Задача
Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
ЕГЭ 2026 (Основная волна)
Поделиться
d9f402d6
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдём ОДЗ неравенства:
{
log
5
x
>
0
,
x
>
0
;
{
x
>
1
,
x
>
0
;
x
>
1.
\begin{cases}
\log_5x>0, \\
x> 0;
\end{cases} \quad
\begin{cases}
x>1, \\
x>0;
\end{cases} \quad
x>1.
{
lo
g
5
x
>
0
,
x
>
0
;
{
x
>
1
,
x
>
0
;
x
>
1.
Используя основное логарифмическое тождество, получим:
log
5
x
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0
;
\log_5x+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0;
lo
g
5
x
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0
;
log
5
2
x
+
log
5
x
−
12
⩽
0.
\log^2_{5}x+\log_5x-12\leqslant0.
lo
g
5
2
x
+
lo
g
5
x
−
12
⩽
0.
Пусть
log
5
x
=
t
,
\log_5x=t,
lo
g
5
x
=
t
,
неравенство примет вид
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t^2+t-12\leqslant0.
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t^2+t-12=0, ~~D=1+48=49;
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t
1
=
−
1
+
7
2
=
3
,
t
2
=
−
1
−
7
2
=
−
4.
t_1=\dfrac{-1+7}{2}=3, \quad t_2=\dfrac{-1-7}{2}=-4.
t
1
=
2
−
1
+
7
=
3
,
t
2
=
2
−
1
−
7
=
−
4.
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
(t+4)(t-3)\leqslant0.
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
Значит,
−
4
⩽
t
⩽
3.
-4\leqslant t\leqslant3.
−
4
⩽
t
⩽
3.
Выполним обратную замену:
−
4
⩽
log
5
x
⩽
3
;
1
625
⩽
x
⩽
125.
-4\leqslant\log_5x\leqslant3; \quad \dfrac{1}{625}\leqslant x\leqslant125.
−
4
⩽
lo
g
5
x
⩽
3
;
625
1
⩽
x
⩽
125.
Пересекая с ОДЗ, получим
x
∈
(
1
;
125
]
.
x\in(1;125].
x
∈
(
1
;
125
]
.
Ответ:
(
1
;
125
]
.
(1;125].
(
1
;
125
]
.
Похожие задачи
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
3
2
(
3
x
)
−
1
log
3
(
9
x
)
+
1
log
3
x
−
4
⩽
6.
\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.
lo
g
3
(
9
x
)
lo
g
3
2
(
3
x
)
−
1
+
lo
g
3
x
−
4
1
⩽
6.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
3
log
5
(
5
+
20
x
−
5
)
⩽
9
−
2
log
0,2
(
25
−
100
x
−
1
)
.
3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).
3
lo
g
5
(
5
+
x
−
5
20
)
⩽
9
−
2
lo
g
0
,
2
(
25
−
x
−
1
100
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
2
log
3
(
x
3
)
−
log
3
(
x
1
−
x
)
⩽
log
3
(
9
x
2
+
1
x
−
4
)
.
2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).
2
lo
g
3
(
x
3
)
−
lo
g
3
(
1
−
x
x
)
⩽
lo
g
3
(
9
x
2
+
x
1
−
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
2
x
−
log
2
x
log
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
l
o
g
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
l
o
g
2
2
x
−
l
o
g
2
x
⩾
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
x
2
+
2
x
−
3
log
3
(
8
⋅
2
x
)
⩽
0.
\dfrac{x^2+2x-3}{\log_3(8\cdot 2^x)}\leqslant 0.
lo
g
3
(
8
⋅
2
x
)
x
2
+
2
x
−
3
⩽
0.
