Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2026 (Основная волна)
Скопировать ссылку
d9f402d6
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдём ОДЗ неравенства:
{
log
5
x
>
0
,
x
>
0
;
{
x
>
1
,
x
>
0
;
x
>
1.
\begin{cases}
\log_5x>0, \\
x> 0;
\end{cases} \quad
\begin{cases}
x>1, \\
x>0;
\end{cases} \quad
x>1.
{
lo
g
5
x
>
0
,
x
>
0
;
{
x
>
1
,
x
>
0
;
x
>
1.
Используя основное логарифмическое тождество, получим:
log
5
x
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0
;
\log_5x+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0;
lo
g
5
x
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0
;
log
5
2
x
+
log
5
x
−
12
⩽
0.
\log^2_{5}x+\log_5x-12\leqslant0.
lo
g
5
2
x
+
lo
g
5
x
−
12
⩽
0.
Пусть
log
5
x
=
t
,
\log_5x=t,
lo
g
5
x
=
t
,
неравенство примет вид
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t^2+t-12\leqslant0.
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t^2+t-12=0, ~~D=1+48=49;
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t
1
=
−
1
+
7
2
=
3
,
t
2
=
−
1
−
7
2
=
−
4.
t_1=\dfrac{-1+7}{2}=3, \quad t_2=\dfrac{-1-7}{2}=-4.
t
1
=
2
−
1
+
7
=
3
,
t
2
=
2
−
1
−
7
=
−
4.
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
(t+4)(t-3)\leqslant0.
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
Значит,
−
4
⩽
t
⩽
3.
-4\leqslant t\leqslant3.
−
4
⩽
t
⩽
3.
Выполним обратную замену:
−
4
⩽
log
5
x
⩽
3
;
1
625
⩽
x
⩽
125.
-4\leqslant\log_5x\leqslant3; \quad \dfrac{1}{625}\leqslant x\leqslant125.
−
4
⩽
lo
g
5
x
⩽
3
;
625
1
⩽
x
⩽
125.
Пересекая с ОДЗ, получим
x
∈
(
1
;
125
]
.
x\in(1;125].
x
∈
(
1
;
125
]
.
Ответ:
(
1
;
125
]
.
(1;125].
(
1
;
125
]
.
