Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ЕГЭ 2026 (резерв)

Решите неравенство

3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).

Решение

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 + 2 \log_{5} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right);

3 \log_5 \left(\frac{5x-5}{x-5} \right) \leqslant 9 + 2 \log_{5}\left(\frac{25x-125}{x-1} \right);

3 \log_5 \left(5\cdot\frac{x-1}{x-5} \right) \leqslant 9 + 2 \log_{5} \left(25\cdot \frac{x-5}{x-1}\right);

3\left(1+\log_5 \left(\frac{x-1}{x-5} \right)\right) \leqslant 9 + 2 \left(2+\log_{5} \left(\frac{x-5}{x-1}\right)\right);

3 + 3\log_5 \left(\frac{x-1}{x-5} \right) \leqslant 9 + 4 - 2\log_{5} \left(\frac{x-1}{x-5}\right);

5\log_5 \left(\frac{x-1}{x-5} \right) \leqslant 10; \ |:5

\log_5 \left(\frac{x-1}{x-5} \right) \leqslant 2.

Так как функция

y = \log_5t

монотонно возрастает, то получаем:

0 < \dfrac{x-1}{x-5} \leqslant 25, \quad \begin{cases} \dfrac{x-1}{x-5} > 0, \\[1.5ex] \dfrac{x-1}{x-5} \leqslant 25; \end{cases} \quad \begin{cases} \dfrac{x-1}{x-5} > 0, \\[1.5ex] \dfrac{x-1-25x+125}{x-5} \leqslant 0; \end{cases}\quad \begin{cases} \dfrac{x-1}{x-5} > 0, \\[1.5ex] \dfrac{24x-124}{x-5} \geqslant 0. \end{cases}

Каждое неравенство решим методом интервалов:

Получаем, что

x \in (-\infty; 1) \cup \left[\dfrac{31}{6}; +\infty\right)

.

Ответ:

(-\infty; 1) \cup \left[\dfrac{31}{6}; +\infty\right)

Похожие задачи