Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГЭ 2026 (резерв)

Решите неравенство

2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).

Решение

Неравенство равносильно следующей системе:

\begin{cases} \log_3 \left( 3x^2\cdot \dfrac{1 - x}{x}\right) \leqslant \log_3 \left( 9x^2 + \dfrac{1}{x} - 4\right),\\[2.5mm] x\sqrt{3} > 0, & (1)\\[2mm] \dfrac{1 - x}{x} > 0. & (2) \end{cases}

Решим

(1)

методом интервалов:

Решим

(2)

методом интервалов:

С учётом условий

(1)

(2)

левая часть первого неравенства системы всегда положительна, поэтому правая часть также автоматически также является положительной.

Тогда получаем равносильную систему:

\begin{cases} 3x - 3x^2 \leqslant 9x^2 + \dfrac{1}{x} - 4, \quad (*)\\ x \in (0;1). \end{cases}

С учётом того, что

x \in (0;1)

(*)

равносильно неравенству

3x^2 - 3x^3 \leqslant 9x^3 + 1 - 4x;

12x^3 - 3x^2 - 4x + 1 \geqslant 0;

3x^2(4x - 1) - (4x - 1) \geqslant 0;

(4x - 1)(3x^2 - 1)\geqslant 0;

(4x - 1)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \geqslant 0.

С помощью метода интервалов, с учётом ограничений

(1)

(2)

получаем:

x \in \left(0;\dfrac{1}{4}\right]\cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};1\right).

Ответ:

\left(0;\dfrac{1}{4}\right]\cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};1\right)

Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи