Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

НеравенстваЕГЭ 2026 (резерв)
Решите неравенство
2log⁡3(x3)−log⁡3(x1−x)⩽log⁡3(9x2+1x−4).2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).2log3​(x3​)−log3​(1−xx​)⩽log3​(9x2+x1​−4).

Решение

Неравенство равносильно следующей системе:
{log⁡3(3x2⋅1−xx)⩽log⁡3(9x2+1x−4),x3>0,(1)1−xx>0.(2)\begin{cases}
\log_3 \left( 3x^2\cdot \dfrac{1 - x}{x}\right) \leqslant \log_3 \left( 9x^2 + \dfrac{1}{x} - 4\right),\\[2.5mm]
x\sqrt{3} > 0, & (1)\\[2mm]
\dfrac{1 - x}{x} > 0. & (2)
\end{cases}⎩⎨⎧​log3​(3x2⋅x1−x​)⩽log3​(9x2+x1​−4),x3​>0,x1−x​>0.​(1)(2)​
Решим (1)(1)(1) методом интервалов:
Изображение 1

Решим (2)(2)(2) методом интервалов:
Изображение 2

С учётом условий (1)(1)(1) и (2)(2)(2) левая часть первого неравенства системы всегда положительна, поэтому правая часть также автоматически также является положительной.

Тогда получаем равносильную систему:
{3x−3x2⩽9x2+1x−4,(∗)x∈(0;1).\begin{cases}
3x - 3x^2 \leqslant 9x^2 + \dfrac{1}{x} - 4, \quad (*)\\
x \in (0;1).
\end{cases}⎩⎨⎧​3x−3x2⩽9x2+x1​−4,(∗)x∈(0;1).​
С учётом того, что x∈(0;1)x \in (0;1)x∈(0;1), (∗)(*)(∗) равносильно неравенству 3x2−3x3⩽9x3+1−4x;3x^2 - 3x^3 \leqslant 9x^3 + 1 - 4x;3x2−3x3⩽9x3+1−4x; 12x3−3x2−4x+1⩾0;12x^3 - 3x^2 - 4x + 1 \geqslant 0;12x3−3x2−4x+1⩾0; 3x2(4x−1)−(4x−1)⩾0;3x^2(4x - 1) - (4x - 1) \geqslant 0;3x2(4x−1)−(4x−1)⩾0; (4x−1)(3x2−1)⩾0;(4x - 1)(3x^2 - 1)\geqslant 0;(4x−1)(3x2−1)⩾0;
(4x−1)(x−13)(x+13)⩾0.(4x - 1)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \geqslant 0.(4x−1)(x−3​1​)(x+3​1​)⩾0.
Изображение 3

С помощью метода интервалов, с учётом ограничений (1)(1)(1) и (2)(2)(2) получаем:
x∈(0;14]∪[13;1).x \in \left(0;\dfrac{1}{4}\right]\cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};1\right).x∈(0;41​]∪[3​1​;1).

Ответ: (0;14]∪[13;1)\left(0;\dfrac{1}{4}\right]\cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};1\right)(0;41​]∪[3​1​;1).