Решите неравенство log_2^2 x - log_2… — Неравенства — ЕГЭ — Профиматика

Школьник

Студент

Преподаватель

НеравенстваЕГЭ 2026 (Основная волна)

Решите неравенство

\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.

Решение

Найдём ОДЗ неравенства:

\begin{cases} x > 0, \\ 0,5 \cdot 2^x>0, \\ \log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x) \neq 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 0, \\ x \in \mathbb{R}, \\ 0,5 \cdot 2^x \neq 1; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 0, \\ x \in \mathbb{R}, \\ x\neq 1; \end{cases} \quad x\in (0;1) \cup (1;+\infty).

Преобразуем неравенство:

\frac{\log_2x(\log_2x - 1)}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0;

\frac{(\log_2x - \log_21)(\log_2x - \log_22)}{\log_{0,2}(2^{x-1}) - \log_{0,2}1} \geqslant 0.

Учитывая, что

2 > 1

и

0,2 < 1

, воспользуемся методом рационализации:

\dfrac{(x-1)(x-2)}{2^{x-1} - 1}\leqslant 0;

\dfrac{(x-1)(x-2)}{2^{x-1} - 2^0}\leqslant 0.

Учитывая, что

2 > 1

, воспользуемся методом рационализации:

\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}\leqslant 0;

\begin{cases} x - 2 \leqslant0, \\ x \neq 1. \end{cases}

Получаем, что

x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2]

.
С учётом ОДЗ имеем:

Ответ:

(0;1) \cup (1;2]

.