Решите неравенство… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

НеравенстваМЦКО

Решите неравенство

\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.

Решение

Упростим логарифмические выражения, используя свойства логарифмов:

\log_3^2{(3x)}-1 = (\log_3{3} + \log_3{x})^2-1 = (1 + \log_3{x})^2-1 = \log_3^2{x}+2\log_3x + 1 - 1 = \log_3^2{x}+2\log_3x;

\log_3(9x) = \log_3{9} + \log_3{x} = 2 + \log_3{x}.

После преобразований получаем, что:

\dfrac{\log_3^2{x}+2\log_3x}{2 + \log_3{x}}+\dfrac{1}{\log_3x-4} - 6\leqslant 0.

Пусть

\log_3{x} = t

, тогда неравенство принимает вид:

\dfrac{t(t+2)}{2 + t}+\dfrac{1}{t-4} - 6\leqslant 0;

\begin{cases} t+\dfrac{1}{t-4} - 6\leqslant 0; \\ t \neq -2; \end{cases} \begin{cases} \dfrac{t^2 - 4t - 6t + 24 + 1}{t-4}\leqslant 0; \\ t \neq -2; \end{cases} \begin{cases} \dfrac{t^2 - 10t + 25}{t-4}\leqslant 0; \\ t \neq -2; \end{cases} \begin{cases} \dfrac{(t-5)^2}{t-4}\leqslant 0; \\ t \neq -2. \end{cases}

Решим первое неравенство системы методом интервалов.

Получаем:

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} t < 4, \ \\ t = 5, \ \end{gathered}\right. \ \\ t \neq -2. \end{cases}

Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} \log_3{x} < 4, \ \\ \log_3{x} = 5, \ \end{gathered}\right. \ \\ \log_3{x} \neq -2; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} 0 < x < 81, \ \\ x = 243, \ \end{gathered}\right. \ \\ x \neq \dfrac{1}{9}. \end{cases}

Получаем, что

x\in\left(0; \dfrac{1}{9}\right) \cup \left(\dfrac{1}{9}; 81\right) \cup \left\{243\right\}

.

Ответ:

\left(0; \dfrac{1}{9}\right) \cup \left(\dfrac{1}{9}; 81\right) \cup \left\{243\right\}