Упростим логарифмические выражения, используя свойства логарифмов:log32(3x)−1=(log33+log3x)2−1=(1+log3x)2−1=log32x+2log3x+1−1=log32x+2log3x;log3(9x)=log39+log3x=2+log3x.После преобразований получаем, что:2+log3xlog32x+2log3x+log3x−41−6⩽0.Пусть log3x=t, тогда неравенство принимает вид:2+tt(t+2)+t−41−6⩽0;⎩⎨⎧t+t−41−6⩽0;t=−2;⎩⎨⎧t−4t2−4t−6t+24+1⩽0;t=−2;⎩⎨⎧t−4t2−10t+25⩽0;t=−2;⎩⎨⎧t−4(t−5)2⩽0;t=−2.Решим первое неравенство системы методом интервалов.
Получаем:⎩⎨⎧[t<4,t=5,t=−2.Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:⎩⎨⎧[log3x<4,log3x=5,log3x=−2;⎩⎨⎧[0<x<81,x=243,x=91.Получаем, что x∈(0;91)∪(91;81)∪{243}.
