Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2026 (резерв)
Скопировать ссылку
40633aff
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем неравенство:
log
2
(
3
+
2
x
x
)
−
log
2
(
x
+
4
x
2
)
⩽
log
2
(
x
+
3
)
.
\log_2 \left( \frac{3 + 2x}{x}\right) - \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right) \leqslant \log_2 (x + 3).
lo
g
2
(
x
3
+
2
x
)
−
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
⩽
lo
g
2
(
x
+
3
)
.
Оно равносильно следующей системе:
{
log
2
(
3
+
2
x
x
⋅
x
2
x
+
4
)
⩽
log
2
(
x
+
3
)
,
3
+
2
x
x
>
0
,
(
1
)
x
2
x
+
4
>
0.
(
2
)
\begin{cases}
\log_2 \left( \dfrac{3 + 2x}{x}\cdot \dfrac{x^2}{x + 4}\right) \leqslant \log_2 (x + 3),\\[2.5mm]
\dfrac{3 + 2x}{x} > 0, & (1)\\[2mm]
\dfrac{x^2}{x + 4} > 0. & (2)
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
lo
g
2
(
x
3
+
2
x
⋅
x
+
4
x
2
)
⩽
lo
g
2
(
x
+
3
)
,
x
3
+
2
x
>
0
,
x
+
4
x
2
>
0.
(
1
)
(
2
)
Решим
(
1
)
(1)
(
1
)
методом интервалов:
Решим
(
2
)
(2)
(
2
)
методом интервалов:
Тогда получаем систему:
{
3
x
+
2
x
2
x
+
4
⩽
x
+
3
,
(
∗
)
x
∈
(
−
4
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
+
∞
)
.
\begin{cases}
\dfrac{3x + 2x^2}{x + 4} \leqslant x + 3, & (*)\\[2.5mm]
x\in \left(-4; -\dfrac{3}{2}\right)\cup (0; +\infty).
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
+
4
3
x
+
2
x
2
⩽
x
+
3
,
x
∈
(
−
4
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
+
∞
)
.
(
∗
)
Решим
(
∗
)
(*)
(
∗
)
:
3
x
+
2
x
2
−
x
2
−
7
x
−
12
x
+
4
⩽
0
;
\dfrac{3x + 2x^2 - x^2 - 7x - 12}{x + 4} \leqslant 0;
x
+
4
3
x
+
2
x
2
−
x
2
−
7
x
−
12
⩽
0
;
x
2
−
4
x
−
12
x
+
4
⩽
0
;
\dfrac{x^2 - 4x - 12}{x + 4} \leqslant 0;
x
+
4
x
2
−
4
x
−
12
⩽
0
;
(
x
−
6
)
(
x
+
2
)
x
+
4
⩽
0.
\dfrac{(x - 6)(x + 2)}{x + 4} \leqslant 0.
x
+
4
(
x
−
6
)
(
x
+
2
)
⩽
0.
С помощью метода интервалов, с учётом ограничений
(
1
)
(1)
(
1
)
и
(
2
)
(2)
(
2
)
получаем:
x
∈
[
−
2
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
6
]
.
x \in \left[-2;-\dfrac{3}{2}\right)\cup (0;6].
x
∈
[
−
2
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
6
]
.
Ответ:
x
∈
[
−
2
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
6
]
x \in \left[-2;-\dfrac{3}{2}\right)\cup (0;6]
x
∈
[
−
2
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
6
]
.
