Для школьников
Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Логарифмические неравенства
Задача
Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
ЕГЭ 2026 (резерв)
Поделиться
40633aff
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем неравенство:
log
2
(
3
+
2
x
x
)
−
log
2
(
x
+
4
x
2
)
⩽
log
2
(
x
+
3
)
.
\log_2 \left( \frac{3 + 2x}{x}\right) - \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right) \leqslant \log_2 (x + 3).
lo
g
2
(
x
3
+
2
x
)
−
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
⩽
lo
g
2
(
x
+
3
)
.
Оно равносильно следующей системе:
{
log
2
(
3
+
2
x
x
⋅
x
2
x
+
4
)
⩽
log
2
(
x
+
3
)
,
3
+
2
x
x
>
0
,
(
1
)
x
2
x
+
4
>
0.
(
2
)
\begin{cases}
\log_2 \left( \dfrac{3 + 2x}{x}\cdot \dfrac{x^2}{x + 4}\right) \leqslant \log_2 (x + 3),\\[2.5mm]
\dfrac{3 + 2x}{x} > 0, & (1)\\[2mm]
\dfrac{x^2}{x + 4} > 0. & (2)
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
lo
g
2
(
x
3
+
2
x
⋅
x
+
4
x
2
)
⩽
lo
g
2
(
x
+
3
)
,
x
3
+
2
x
>
0
,
x
+
4
x
2
>
0.
(
1
)
(
2
)
Решим
(
1
)
(1)
(
1
)
методом интервалов:
Решим
(
2
)
(2)
(
2
)
методом интервалов:
Тогда получаем систему:
{
3
x
+
2
x
2
x
+
4
⩽
x
+
3
,
(
∗
)
x
∈
(
−
4
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
+
∞
)
.
\begin{cases}
\dfrac{3x + 2x^2}{x + 4} \leqslant x + 3, & (*)\\[2.5mm]
x\in \left(-4; -\dfrac{3}{2}\right)\cup (0; +\infty).
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
+
4
3
x
+
2
x
2
⩽
x
+
3
,
x
∈
(
−
4
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
+
∞
)
.
(
∗
)
Решим
(
∗
)
(*)
(
∗
)
:
3
x
+
2
x
2
−
x
2
−
7
x
−
12
x
+
4
⩽
0
;
\dfrac{3x + 2x^2 - x^2 - 7x - 12}{x + 4} \leqslant 0;
x
+
4
3
x
+
2
x
2
−
x
2
−
7
x
−
12
⩽
0
;
x
2
−
4
x
−
12
x
+
4
⩽
0
;
\dfrac{x^2 - 4x - 12}{x + 4} \leqslant 0;
x
+
4
x
2
−
4
x
−
12
⩽
0
;
(
x
−
6
)
(
x
+
2
)
x
+
4
⩽
0.
\dfrac{(x - 6)(x + 2)}{x + 4} \leqslant 0.
x
+
4
(
x
−
6
)
(
x
+
2
)
⩽
0.
С помощью метода интервалов, с учётом ограничений
(
1
)
(1)
(
1
)
и
(
2
)
(2)
(
2
)
получаем:
x
∈
[
−
2
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
6
]
.
x \in \left[-2;-\dfrac{3}{2}\right)\cup (0;6].
x
∈
[
−
2
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
6
]
.
Ответ:
x
∈
[
−
2
;
−
3
2
)
∪
(
0
;
6
]
x \in \left[-2;-\dfrac{3}{2}\right)\cup (0;6]
x
∈
[
−
2
;
−
2
3
)
∪
(
0
;
6
]
.
Похожие задачи
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
3
2
(
3
x
)
−
1
log
3
(
9
x
)
+
1
log
3
x
−
4
⩽
6.
\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.
lo
g
3
(
9
x
)
lo
g
3
2
(
3
x
)
−
1
+
lo
g
3
x
−
4
1
⩽
6.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
3
log
5
(
5
+
20
x
−
5
)
⩽
9
−
2
log
0,2
(
25
−
100
x
−
1
)
.
3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).
3
lo
g
5
(
5
+
x
−
5
20
)
⩽
9
−
2
lo
g
0
,
2
(
25
−
x
−
1
100
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
2
log
3
(
x
3
)
−
log
3
(
x
1
−
x
)
⩽
log
3
(
9
x
2
+
1
x
−
4
)
.
2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).
2
lo
g
3
(
x
3
)
−
lo
g
3
(
1
−
x
x
)
⩽
lo
g
3
(
9
x
2
+
x
1
−
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
2
x
−
log
2
x
log
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
l
o
g
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
l
o
g
2
2
x
−
l
o
g
2
x
⩾
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
x
2
+
2
x
−
3
log
3
(
8
⋅
2
x
)
⩽
0.
\dfrac{x^2+2x-3}{\log_3(8\cdot 2^x)}\leqslant 0.
lo
g
3
(
8
⋅
2
x
)
x
2
+
2
x
−
3
⩽
0.
