Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
a(4x2+x24)−(3a+4)(2x+x2)+2a+12=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Сделаем замену t=2x+x2, тогда
t2=4x2+2+x24,⇒4x2+x24=t2−2. Уравнение принимает вид:
a(t2−2)+(3a+4)t+2a+12=0;at2−(3a+4)t+12=0.(∗) Проанализируем замену:
t=2x+x2;⋅2x=02tx=x2+4;x2−2tx+4=0;D=4t2−16=4(t−2)(t+2). Значит,
1) значениям t<−2 или t>2 соответствует два значения x; 2) значениям t±2 соответствует одно значение x; 3) значениям −2<t<2 не соответствует ни одно значение x.
При a=0 уравнение (∗) принимает вид
4t=12;t=3. Этот случай нам подходит.
При a=0 уравнение (∗) является квадратным. Найдём его корни:
D=(3a+4)2−48a=(3a−4)2; t1=2a3a+4+3a−4=3,t2=2a3a+4−3a+4=a4. Значение t=3 существует всегда, значит, чтобы уравнение имело два решения, корень t=a4 должен либо совпадать с t=3, либо не давать значений x.
Совпадение корней будет при нулевом D, то есть при a=34.
Найдём значения a, при которых корню t=a4 не соответствует ни одного значения:
−2<a4<2⇔⎩⎨⎧a2>−1,a2<1;⇔⎩⎨⎧a2+a>0,a2−a<0.
Объединяя с a=0 и a=34, получаем окончательный ответ: a∈(−∞;−2)∪{0;34}∪(2;+∞).
