Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромМЦКО

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

a\left(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{4}{x^2}\right) - (3a + 4)\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}\right) + 2a + 12 = 0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Сделаем замену

t = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}

, тогда

t^2 = \dfrac{x^2}{4} + 2 + \dfrac{4}{x^2},\quad \Rightarrow\quad \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{4}{x^2} = t^2 - 2.

Уравнение принимает вид:

a(t^2 - 2) + (3a + 4)t + 2a + 12 = 0;

at^2 - (3a + 4)t + 12 = 0. \quad (*)

Проанализируем замену:

\left.t = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x};\quad\right|\cdot 2x\neq 0

2tx = x^2 + 4;

x^2 - 2tx + 4 = 0;

D = 4t^2 - 16 = 4(t - 2)(t + 2).

Значит,

1) значениям

t < -2

или

t > 2

соответствует два значения

x

;
2) значениям

t \pm 2

соответствует одно значение

x

;
3) значениям

-2 < t < 2

не соответствует ни одно значение

x

.

При

a = 0

уравнение

(*)

принимает вид

4t = 12;

t = 3.

Этот случай нам подходит.

При

a \neq 0

уравнение

(*)

является квадратным. Найдём его корни:

D = (3a + 4)^2 - 48a = (3a - 4)^2;

t_1 = \dfrac{3a + 4 + 3a - 4}{2a} = 3,\quad t_2 = \dfrac{3a + 4 - 3a + 4}{2a} = \dfrac{4}{a}.

Значение

t = 3

существует всегда, значит, чтобы уравнение имело два решения, корень

t = \dfrac{4}{a}

должен либо совпадать с

t = 3

, либо не давать значений

x

.

Совпадение корней будет при нулевом

D

, то есть при

a = \dfrac{4}{3}

.

Найдём значения

a

, при которых корню

t = \dfrac{4}{a}

не соответствует ни одного значения:

-2 < \dfrac{4}{a} < 2\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{2}{a} > -1,\\[2mm] \dfrac{2}{a} < 1; \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{2 + a}{a} > 0,\\[2mm] \dfrac{2 - a}{a} < 0. \end{cases}

Объединяя с

a = 0

a = \dfrac{4}{3}

, получаем окончательный ответ:

a \in (-\infty; -2)\cup\left\{0;\dfrac{4}{3}\right\}\cup (2; +\infty)

.

Ответ:

(-\infty; -2)\cup\left\{0;\dfrac{4}{3}\right\}\cup (2; +\infty)

Похожие задачи