В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 15, а боковое ребро SA равно 23. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=SK=7. Плоскость α перпенпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
Решение
Рассмотрим плоскость (SBD). Так как пирамида правильная, то O --- центр квадрата ABCD, причём
SO⊥(ABC).
Поскольку прямая SO лежит в плоскости (SBD), то
(SBD)⊥(ABC).
Обозначим
KH=α∩(SBD).
Так как α⊥(ABC) и (SBD)⊥(ABC), то
KH⊥(ABC).
Но
SO⊥(ABC), значит,
KH∥SO.
Рассмотрим △SBD. Точка K лежит на стороне BS, точка H лежит на стороне BO, причём KH∥SO. Тогда по теореме Фалеса
KSBK=HOBH.
Так как
BK=SB−SK=23−7=16, то
HOBH=716.
Положим
BH=16x,HO=7x.
Тогда
BO=BH+HO=23x.
Так как O --- центр квадрата ABCD, то он является серединой диагонали BD, следовательно,
DO=BO=23x.
Значит,
DH=DO+OH=23x+7x=30x.
Теперь в плоскости основания проведём прямую CH и обозначим через M′ точку её пересечения с прямой AB.
Рассмотрим △DHC и △M′HB.
У них
∠DHC=∠M′HB как вертикальные углы, а также
∠DCH=∠HM′B, так как DC∥AB.
Значит,
△DHC∼△M′HB.
Тогда
HBDH=M′BDC.
Подставим известные величины:
16x30x=M′B15, 815=M′B15.
Отсюда
M′B=8.
Так как AB=15, то
AM′=15−8=7.
Но на стороне AB уже отмечена точка M, для которой AM=7. Значит,
M′=M.
Следовательно, точки M,H и C лежат на одной прямой.
Так как точки M и H принадлежат плоскости α, то и вся прямая MH лежит в плоскости α. Поэтому C∈α. Что и требовалось доказать.
б) По пункту а) плоскость α содержит точки M,K и C, поэтому сечением пирамиды является △MCK.
Так как KH⊥(ABC), а прямая MC лежит в плоскости основания, то
KH⊥MC.
Значит, площадь сечения равна
S△MCK=21⋅MC⋅KH.
В пункте а) мы уже получили, что
MB=8.
Так как BC=15, то в прямоугольном треугольнике MBC имеем
MC2=MB2+BC2=82+152=64+225=289.
Поэтому
MC=17.
Теперь найдём KH.
В пункте а) мы получили
BH=16x,HO=7x,BO=23x.
Так как O --- центр квадрата ABCD, то O является серединой диагонали BD. Диагональ квадрата равна
BD=152, поэтому
BO=2152.
Значит,
23x=2152, откуда
x=46152.
Тогда
BH=16x=16⋅46152=231202.
Рассмотрим прямоугольный △BKH. Из пункта а) знаем, что
BK=16.
