В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 15, а боковое ребро SA равно 23. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=SK=7. Плоскость α перпенпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
Решение
Рассмотрим плоскость (SBD). Так как пирамида правильная, то O --- центр квадрата ABCD, причёмSO⊥(ABC).Поскольку прямая SO лежит в плоскости (SBD), то(SBD)⊥(ABC).ОбозначимKH=α∩(SBD).Так как α⊥(ABC) и (SBD)⊥(ABC), тоKH⊥(ABC).НоSO⊥(ABC),значит,KH∥SO.
Рассмотрим △SBD. Точка K лежит на стороне BS, точка H лежит на стороне BO, причём KH∥SO. Тогда по теореме ФалесаKSBK=HOBH.Так какBK=SB−SK=23−7=16,тоHOBH=716.ПоложимBH=16x,HO=7x.ТогдаBO=BH+HO=23x.Так как O --- центр квадрата ABCD, то он является серединой диагонали BD, следовательно,DO=BO=23x.Значит,DH=DO+OH=23x+7x=30x.
Теперь в плоскости основания проведём прямую CH и обозначим через M′ точку её пересечения с прямой AB.
Рассмотрим △DHC и △M′HB.
У них∠DHC=∠M′HBкак вертикальные углы, а также∠DCH=∠HM′B,так как DC∥AB.
Значит,△DHC∼△M′HB.ТогдаHBDH=M′BDC.Подставим известные величины:16x30x=M′B15,815=M′B15.ОтсюдаM′B=8.Так как AB=15, тоAM′=15−8=7.Но на стороне AB уже отмечена точка M, для которой AM=7. Значит,M′=M.Следовательно, точки M,H и C лежат на одной прямой.
Так как точки M и H принадлежат плоскости α, то и вся прямая MH лежит в плоскости α. Поэтому C∈α. Что и требовалось доказать.
б) По пункту а) плоскость α содержит точки M,K и C, поэтому сечением пирамиды является △MCK.
Так как KH⊥(ABC), а прямая MC лежит в плоскости основания, тоKH⊥MC.Значит, площадь сечения равнаS△MCK=21⋅MC⋅KH.В пункте а) мы уже получили, чтоMB=8.Так как BC=15, то в прямоугольном треугольнике MBC имеемMC2=MB2+BC2=82+152=64+225=289.ПоэтомуMC=17.Теперь найдём KH.
В пункте а) мы получилиBH=16x,HO=7x,BO=23x.Так как O --- центр квадрата ABCD, то O является серединой диагонали BD. Диагональ квадрата равнаBD=152,поэтомуBO=2152.Значит,23x=2152,откудаx=46152.ТогдаBH=16x=16⋅46152=231202.Рассмотрим прямоугольный △BKH. Из пункта а) знаем, чтоBK=16.Тогда по теореме ПифагораKH2=BK2−BH2.Подставим:KH2=162−(231202)2=256−52928800=529106624.Значит,KH=2381666.Теперь найдём площадь сечения:S△MCK=21⋅17⋅2381666=23681666.Ответ: 23681666.
