К двум окружностям проведены две взаимно перпендикулярные внутренние касательные. Одна из прямых касается окружностей в точках A и C, другая -- в точках B и D, причём точки A и B принадлежат одной окружности, а точки C и D -- другой окружности.
а) Докажите, что длина отрезка AC равна сумме радиусов этих окружностей.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если AB=4,CD=14.
Решение
а) Пусть AC∩BD=P,O1 -- центр окружности, которой принадлежат точки A и B, а O2 -- центр окружности, которой принадлежат точки C и D.
Тогда O1A,O1B,O2C и O2D -- радиусы, проведённые в точки касания, значит, O1A⊥AP,O1B⊥BD,O2C⊥AC и O2D⊥BD.
Так как O1A⊥AP,O1B⊥BD и O1A=O1B, то AO1BP -- квадрат, значит, AP=BP=r.
Так как O2D⊥PD,O2C⊥PC и O2D=O2C, то O2DCP -- квадрат, значит, DP=PC=R.
Тогда получаем, что AC=AP+PC=r+R, ч.т.д.
б) Так как AB и CD -- диагонали квадратов со сторонами r и R соответственно, то
r=2AB=24=22,R=2CD=214=72. Получаем, что AC=BD=r+R=22+72=92.
Найдём площадь четырёхугольника ABCD: SABCD=21AC⋅BD=21⋅(92)2=81.
