Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=5 и KM=25.
Решение
а) Вписанные углы ADB и BMC являются прямыми, так как опираются на диаметры AB и BC соответственно. Значит, MC⊥MD и AD⊥MD, следовательно, MC∥AD. Что и требовалось доказать.
б) Пусть O --- центр окружности с диаметром BC, тогда
BO=OM=OC(какрадиусы). Так как M --- точка касания прямой AM и окружности с центром O, то OM⊥AM. Также ∠AKB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Получаем, что соотвественные углы AKB и AMD равны, следовательно, KB∥MO. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получим:
KMAK=BOAB=51⇒AB=x,BO=5x=OC=OM. По теореме Пифагора в △AMO:AO2=AM2+MO2;(6x)2=(5x)2+302;11x2=302; x=1130. Проведём высоты DH и MT к отрезку AC.
△ADB∼△BMC (по двум углам): ∠ADB=∠BMC=90∘,∠ABD=∠MBC(каквертикальные). Получаем, что
MTDH=BCAB=10xx=101. В прямоугольном треугольнике AMO найдём высоту MT: MT=AOAM⋅MO=6x30⋅5x=25. Тогда
DH=101MT=25. Таким образом,
SDBC=21⋅DH⋅BC=21⋅25⋅11300=11375. Ответ: 11375.
