Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH=7.
Решение
а) ∠BKC=∠CPK=α как угол между касательной и хордой. Значит, △CKB∼△CPH по двум углам (∠BKC=∠CPK=α,∠CBK=∠CHP=90∘), ч.т.д.
б) AK=AP как отрезки касательных, проведённые из одной точки, значит, △APK -- равнобедренный и ∠AKP=∠APK=45∘. ∠CPD=180∘−∠KPC−∠APK=180∘−45∘−α=135∘−α. ∠AKP=∠KCP=45∘ как угол между касательной и хордой. \par \medskip
В △CKP по теореме о сумме углов:
∠CKP=180∘−∠CPK−∠KCP=180∘−45∘−α=135∘−α. Значит, △CKH∼△CPD по двум углам, так как ∠CKH=∠CPD=135∘−α и ∠CHK=∠CPD=90∘. Запишем отношение сходственных сторон:
CKCP=CHCD=KHPD.(∗) Из подобия треугольников CKB и CPH: CKCP=BCCH=BKPH.
С учётом (*) получаем, что
CHCD=BCCH,CH2=CD⋅BC=SABCD=72=49. Ответ: 49.
