В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.
а) Докажите, что угол BCA равен 60∘. б) Найдите площадь треугольника ABC , если его периметр равен 32 и IC=6.
Решение
а)
Обозначим ∠BCA=α.
Так как AK и BL --- биссектрисы, возьмём
∠CAI=∠IAB=x,∠CBI=∠IBA=y.
Тогда, по сумме углов в △ABC: α+2x+2y=180∘,2x+2y=180∘−α,x+y=90∘−2α. По сумме углов в △AIB: ∠AIB=180∘−x−y. Подставим найденное значение x+y: ∠AIB=180∘−(90∘−2α)=90∘+2α. Углы ∠AIB и ∠KIL вертикальные, значит,
∠KIL=90∘+2α. Так как около четырёхугольника CKIL можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180∘: ∠KCL+∠KIL=180∘,α+(90∘+2α)=180∘,23α=90∘,α=60∘. Значит, ∠BCA=60∘. Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) известно, что ∠BCA=60∘.
Точка I — точка пересечения биссектрис, значит, она является центром вписанной окружности △ABC, а CI --- тоже биссекрисса.
Опустим перпендикуляр IIa на сторону BC. Тогда IIa --- радиус вписанной окружности.
Так как CI — биссектриса угла C, то
∠ICIa=2∠BCA=260∘=30∘. По условию IC=6. Тогда в прямоугольном △CIIa катет, лежащий против угла 30∘, равен половине гипотенузы, то есть
IIa=2CI=26=3.
Периметр △ABC равен 32, значит, полупериметр равен
p=232=16. Тогда площадь △ABC равна
S△ABC=pr=16⋅3=48. Ответ: б) 48.
