Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что OP=CP. б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 24,∠ABC=60∘.
Решение
а) Так как точка O --- центр вписанной окружности, то BO и CO --- биссектрисы углов B и C треугольника ABC соответственно. Пусть ∠ABO=∠OBC=x ,∠BCO=∠OCA=y.
Заметим, что ∠ABP=∠ACP=x как вписанные, опирающиеся на дугу AP, следовательно:
∠OCP=x+y. Также ∠COP --- внешний угол для △BOC, значит
∠POC=∠OBC+∠OCB=x+y. Таким образом,
∠POC=∠OCP=x+y, следовательно, △OCP --- равнобедренный и OP=PC. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что треугольники ABC и APC вписаны в одну и ту же оружность, следовательно, RABC=RAPC=R. В треугольнике APH: AP=sin30∘AH=48. По теореме синусов в △APC: 2R=sin30∘AP; 2R=2148=96; R=48.
