Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны 7 и 3.
Решение
а) Обозначим центры меньшей и большей окружностей через O1 и O2 соответственно.
Так как ∠ACD=90∘, то AD является диаметром меньшей окружности, следовательно, точка O1 лежит на прямой AD.
Аналогично, так как ∠BCE=90∘, то BE является диаметром большей окружности, следовательно, точка O2 лежит на прямой BE.
Кроме того, точка касания двух окружностей лежит на линии центров, значит, точки O1,C,O2 лежат на одной прямой.
Рассмотрим △AO1C. Так как O1A=O1C как радиусы меньшей окружности, то он равнобедренный, поэтому
∠CAO1=∠ACO1.
Аналогично рассмотрим △CO2E. Так как O2C=O2E как радиусы большей окружности, то он равнобедренный, поэтому
∠ECO2=∠CEO2.
Так как точки A,C,E лежат на одной прямой и точки O1,C,O2 лежат на одной прямой, то
∠ACO1=∠ECO2 как вертикальные.
Следовательно,
∠CAO1=∠CEO2, то есть
∠CAD=∠BEC.
Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BE и секущей AE. Поэтому
AD∥BE. Что и требовалось доказать.
б) Пусть
AC=BC=x,CE=y.
Так как AD и BE --- диаметры соответствующих окружностей, то
AD=27,BE=6.
По пункту а) AD∥BE. Кроме того,
∠ACD=∠ECB=90∘. Тогда
△ACD∼△ECB.
Из подобия получаем
ACCE=ADBE.
Так как CE=y,AC=x,BE=6,AD=27, то
xy=276.
Значит,
y=73x.
Так как △BCE прямоугольный, по теореме Пифагора получаем
x2+y2=9.
Подставим выражение для y: x2+(73x)2=9, x2+79x2=9, 716x2=9, x2=1663.
