Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны 7 и 3.
Решение
а) Обозначим центры меньшей и большей окружностей через O1 и O2 соответственно.
Так как ∠ACD=90∘, то AD является диаметром меньшей окружности, следовательно, точка O1 лежит на прямой AD.
Аналогично, так как ∠BCE=90∘, то BE является диаметром большей окружности, следовательно, точка O2 лежит на прямой BE.
Кроме того, точка касания двух окружностей лежит на линии центров, значит, точки O1,C,O2 лежат на одной прямой.
Рассмотрим △AO1C. Так как O1A=O1C как радиусы меньшей окружности, то он равнобедренный, поэтому∠CAO1=∠ACO1.Аналогично рассмотрим △CO2E. Так как O2C=O2E как радиусы большей окружности, то он равнобедренный, поэтому∠ECO2=∠CEO2.Так как точки A,C,E лежат на одной прямой и точки O1,C,O2 лежат на одной прямой, то∠ACO1=∠ECO2как вертикальные.
Следовательно,∠CAO1=∠CEO2,то есть∠CAD=∠BEC.Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BE и секущей AE. ПоэтомуAD∥BE.Что и требовалось доказать.
б) ПустьAC=BC=x,CE=y.Так как AD и BE --- диаметры соответствующих окружностей, тоAD=27,BE=6.По пункту а) AD∥BE. Кроме того,∠ACD=∠ECB=90∘.Тогда△ACD∼△ECB.Из подобия получаемACCE=ADBE.
Так как CE=y,AC=x,BE=6,AD=27, тоxy=276.Значит,y=73x.Так как △BCE прямоугольный, по теореме Пифагора получаемx2+y2=9.Подставим выражение для y:x2+(73x)2=9,x2+79x2=9,716x2=9,x2=1663.Тогдаx=437.Так как BC=x,BC=437.Ответ: 437.
