Дан треугольник ABC. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K, а описанную около треугольника окружность --- в точке M.
a) Докажите, что треугольник BCM --- равнобедренный.
б) Найдите радиус описанной окружности около треугольника KCM, если AB=8,BC=7,AC=6.
Решение
а) Так как AK -- биссектриса, то ∠CAM=∠BAM. Тогда CM⌣=BM⌣, так как на них опираются равные углы.
Следовательно, CM=BM, по свойству равных хорд, стягивающих равные дуги. Значит, △BCM -- равнобедренный, ч.т.д.
б) По свойству биссектрисы: KBCK=ABAC=86=43. Пусть CK=3x,BK=4x, тогда CB=3x+4x=7, откуда x=1. Значит, CK=3. В △ABC по теореме косинусов: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos∠ABC; 36=64+49−2⋅8⋅7⋅cos∠ABC; 77=2⋅8⋅7⋅cos∠ABC; cos∠ABC=1611. Из основного тригонометрического тождества получаем: sin∠ABC=1−cos2∠ABC=1−256121=16315. ∠AMC=∠ABC как опирающиеся на дугу AC. Тогда в △KCM по теореме синусов: R=2sin∠AMCCK=2⋅163153=158.
