Окружности

К двум окружностям проведены две взаимно перпендикулярные внутренние касательные. Одна из прямых касается окружностей в точках A и C, другая – в точках B и D, причём точки A и B принадлежат одной окружности, а точки C и D – другой окружности. а) Докажите, что длина отрезка AC равна сумме радиусов этих окружностей. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если AB=4, CD=14.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны √(7) и 3.

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D. а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны. б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=5 и KM=25.

Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведён перпендикуляр CH. а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны. б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 7.

Дан треугольник ABC. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K, а описанную около треугольника окружность — в точке M. a) Докажите, что треугольник BCM — равнобедренный. б) Найдите радиус описанной окружности около треугольника KCM, если AB=8, BC=7, AC=6.