Окружности

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P. а) Докажите, что OP = CP. б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 24, ∠ ABC = 60^∘.

В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. а) Докажите, что угол BCA равен 60^∘. б) Найдите площадь треугольника ABC , если его периметр равен 32 и IC = 6.

Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC=34 и BD=30.

Окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC и пересекает катет AC в точке K, гипотенузу AB — в точке M. а) Докажите, что треугольники AKM и ABC подобны. б) Найдите площадь четырёхугольника CKMB, если радиус окружности равен √(29), катеты AC и BC равны 12 и 4 соответственно.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма A B C D, пересекает сторону B C в точках B и E и пересекает сторону C D в точках K и D. а) Докажите, что A E=A K б) Найдите A D, если C E=10, D K=9 и cos ∠ B A D=0,2.

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что BK=BE б) Найдите отношение KE:AC, если ∠ BAD=30°.

Окружность с центром O₁ касается оснований B C и A D и боковой стороны A B трапеции A B C D. Окружность с центром O₂ касается сторон B C, C D и A D. Известно, что A B=10, B C=9, C D=30, A D=39. a) Докажите, что прямая O₁ O₂ параллельна основаниям трапеции A B C D б) Найдите O₁O₂.

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах A B и B C соответственно так, что A M: M B=C N: N B=2: 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что A B+B C=4 A C. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник A B C, если M L=9/5, L N=3.

В треугольнике A B C продолжения высоты C C_1 и биссектрисы B B_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ A B C=40^∘, ∠ A C B=85^∘. a) Докажите, что B M=C N. б) Прямые B C и M N пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника B D N, если его высота B H равна 6.

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции A B C D равные хорды. a) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону A B в точках K и L так, что A K=15, K L=6, L B=5.