Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P. а) Докажите, что OP = CP. б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 24, ∠ ABC = 60^∘.

В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. а) Докажите, что угол BCA равен 60^∘. б) Найдите площадь треугольника ABC , если его периметр равен 32 и IC = 6.

Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC=34 и BD=30.

Окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC и пересекает катет AC в точке K, гипотенузу AB — в точке M. а) Докажите, что треугольники AKM и ABC подобны. б) Найдите площадь четырёхугольника CKMB, если радиус окружности равен √(29), катеты AC и BC равны 12 и 4 соответственно.