Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
Статград 20.03.2024
Скопировать ссылку
e8b8ae1a
Решите неравенство
2
⋅
125
x
−
1
5
x
−
1
+
12
25
x
+
5
x
+
1
⩽
11
2\cdot\dfrac{125^x-1}{5^x-1}+\dfrac{12}{25^x+5^x+1}\leqslant 11
2
⋅
5
x
−
1
12
5
x
−
1
+
2
5
x
+
5
x
+
1
12
⩽
11
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Сделаем замену:
5
x
=
t
.
5^x=t.
5
x
=
t
.
Тогда
t
>
0
,
t
≠
1
,
t>0,\qquad t\ne 1,
t
>
0
,
t
=
1
,
кроме того,
25
x
=
t
2
,
125
x
=
t
3
.
25^x=t^2,\qquad 125^x=t^3.
2
5
x
=
t
2
,
12
5
x
=
t
3
.
Получаем неравенство
2
⋅
t
3
−
1
t
−
1
+
12
t
2
+
t
+
1
⩽
11.
2\cdot\dfrac{t^3-1}{t-1}+\dfrac{12}{t^2+t+1}\leqslant 11.
2
⋅
t
−
1
t
3
−
1
+
t
2
+
t
+
1
12
⩽
11.
Так как
t
3
−
1
=
(
t
−
1
)
(
t
2
+
t
+
1
)
,
t^3-1=(t-1)(t^2+t+1),
t
3
−
1
=
(
t
−
1
)
(
t
2
+
t
+
1
)
,
а
t
≠
1
t\ne 1
t
=
1
,
то
2
(
t
2
+
t
+
1
)
+
12
t
2
+
t
+
1
⩽
11.
2(t^2+t+1)+\dfrac{12}{t^2+t+1}\leqslant 11.
2
(
t
2
+
t
+
1
)
+
t
2
+
t
+
1
12
⩽
11.
Обозначим
u
=
t
2
+
t
+
1.
u=t^2+t+1.
u
=
t
2
+
t
+
1.
Тогда
u
>
0
u>0
u
>
0
,
и неравенство принимает вид
2
u
+
12
u
⩽
11.
2u+\dfrac{12}{u}\leqslant 11.
2
u
+
u
12
⩽
11.
Так как
u
>
0
u>0
u
>
0
,
умножим обе части неравенства на
u
u
u
:
2
u
2
−
11
u
+
12
⩽
0.
2u^2-11u+12\leqslant 0.
2
u
2
−
11
u
+
12
⩽
0.
Найдём корни квадратного трёхчлена
2
u
2
−
11
u
+
12
2u^2-11u+12
2
u
2
−
11
u
+
12
.
Его дискриминант равен
D
=
121
−
4
⋅
2
⋅
12
=
121
−
96
=
25
=
5
2
.
D=121-4\cdot2\cdot12=121-96=25=5^2.
D
=
121
−
4
⋅
2
⋅
12
=
121
−
96
=
25
=
5
2
.
Тогда
u
1
,
2
=
11
±
5
4
,
u_{1,2}=\dfrac{11\pm5}{4},
u
1
,
2
=
4
11
±
5
,
то есть
u
1
=
3
2
,
u
2
=
4.
u_1=\dfrac{3}{2},\qquad u_2=4.
u
1
=
2
3
,
u
2
=
4.
Значит,
2
u
2
−
11
u
+
12
=
2
(
u
−
4
)
(
u
−
3
2
)
,
2u^2-11u+12=2(u-4)\left(u-\dfrac{3}{2}\right),
2
u
2
−
11
u
+
12
=
2
(
u
−
4
)
(
u
−
2
3
)
,
поэтому
2
(
u
−
4
)
(
u
−
3
2
)
⩽
0.
2(u-4)\left(u-\dfrac{3}{2}\right)\leqslant 0.
2
(
u
−
4
)
(
u
−
2
3
)
⩽
0.
Вернёмся к переменной
t
t
t
:
2
(
t
2
+
t
+
1
−
4
)
(
t
2
+
t
+
1
−
3
2
)
⩽
0.
2\left(t^2+t+1-4\right)\left(t^2+t+1-\dfrac{3}{2}\right)\leqslant 0.
2
(
t
2
+
t
+
1
−
4
)
(
t
2
+
t
+
1
−
2
3
)
⩽
0.
Получаем
2
(
t
2
+
t
−
3
)
(
t
2
+
t
−
1
2
)
⩽
0.
2(t^2+t-3)\left(t^2+t-\dfrac{1}{2}\right)\leqslant 0.
2
(
t
2
+
t
−
3
)
(
t
2
+
t
−
2
1
)
⩽
0.
Для уравнения
t
2
+
t
−
3
=
0
t^2+t-3=0
t
2
+
t
−
3
=
0
имеем
D
=
1
+
12
=
13
,
D=1+12=13,
D
=
1
+
12
=
13
,
поэтому
t
1
,
2
=
−
1
±
13
2
.
t_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.
t
1
,
2
=
2
−
1
±
13
.
Для уравнения
t
2
+
t
−
1
2
=
0
t^2+t-\dfrac{1}{2}=0
t
2
+
t
−
2
1
=
0
имеем
D
=
1
+
2
=
3
,
D=1+2=3,
D
=
1
+
2
=
3
,
поэтому
t
1
,
2
=
−
1
±
3
2
.
t_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}.
t
1
,
2
=
2
−
1
±
3
.
Тогда неравенство принимает вид
2
(
t
−
−
1
−
13
2
)
(
t
−
−
1
+
13
2
)
(
t
−
−
1
−
3
2
)
(
t
−
−
1
+
3
2
)
⩽
0.
2\left(t-\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)
\left(t-\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)
\left(t-\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)
\left(t-\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)
\leqslant 0.
2
(
t
−
2
−
1
−
13
)
(
t
−
2
−
1
+
13
)
(
t
−
2
−
1
−
3
)
(
t
−
2
−
1
+
3
)
⩽
0.
Решим это неравенство методом интервалов.
Получаем
t
∈
[
−
1
−
13
2
;
−
1
−
3
2
]
∪
[
3
−
1
2
;
13
−
1
2
]
.
t\in
\left[\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\right]
\cup
\left[\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right].
t
∈
[
2
−
1
−
13
;
2
−
1
−
3
]
∪
[
2
3
−
1
;
2
13
−
1
]
.
Теперь учтём ограничения, полученные при замене:
t
>
0
,
t
≠
1.
t>0,\qquad t\ne1.
t
>
0
,
t
=
1.
Заметим, что
3
−
1
2
<
1
<
13
−
1
2
.
\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}<1<\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}.
2
3
−
1
<
1
<
2
13
−
1
.
Отсюда
t
∈
[
3
−
1
2
;
1
)
∪
(
1
;
13
−
1
2
]
.
t\in
\left[\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};1\right)
\cup
\left(1;\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right].
t
∈
[
2
3
−
1
;
1
)
∪
(
1
;
2
13
−
1
]
.
Так как функция
5
x
5^x
5
x
возрастает, получаем
x
∈
[
log
5
3
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
log
5
13
−
1
2
]
.
x\in
\left[
\log_5\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};0
\right)
\cup
\left(
0;\log_5\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}
\right].
x
∈
[
lo
g
5
2
3
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
5
2
13
−
1
]
.
Ответ:
x
∈
[
log
5
3
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
log
5
13
−
1
2
]
x\in\left[\log_5\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};0\right)\cup\left(0;\log_5\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right]
x
∈
[
lo
g
5
2
3
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
5
2
13
−
1
]
.
