Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваСтатград 20.03.2024
Решите неравенство 2⋅5x−1125x−1+25x+5x+112⩽11.
Решение
Сделаем замену:5x=t.Тогдаt>0,t=1,кроме того,25x=t2,125x=t3.Получаем неравенство2⋅t−1t3−1+t2+t+112⩽11.Так какt3−1=(t−1)(t2+t+1),а t=1, то2(t2+t+1)+t2+t+112⩽11.Обозначимu=t2+t+1.Тогда u>0, и неравенство принимает вид2u+u12⩽11.Так как u>0, умножим обе части неравенства на u:2u2−11u+12⩽0.Найдём корни квадратного трёхчлена 2u2−11u+12. Его дискриминант равенD=121−4⋅2⋅12=121−96=25=52.Тогдаu1,2=411±5,то естьu1=23,u2=4.Значит,2u2−11u+12=2(u−4)(u−23),поэтому2(u−4)(u−23)⩽0.Вернёмся к переменной t:2(t2+t+1−4)(t2+t+1−23)⩽0.Получаем2(t2+t−3)(t2+t−21)⩽0.Для уравненияt2+t−3=0имеемD=1+12=13,поэтомуt1,2=2−1±13.Для уравненияt2+t−21=0имеемD=1+2=3,поэтомуt1,2=2−1±3.Тогда неравенство принимает вид2(t−2−1−13)(t−2−1+13)(t−2−1−3)(t−2−1+3)⩽0.Решим это неравенство методом интервалов.
Получаемt∈[2−1−13;2−1−3]∪[23−1;213−1].Теперь учтём ограничения, полученные при замене:t>0,t=1.Заметим, что23−1<1<213−1.
Отсюдаt∈[23−1;1)∪(1;213−1].Так как функция 5x возрастает, получаемx∈[log523−1;0)∪(0;log5213−1].Ответ: x∈[log523−1;0)∪(0;log5213−1].
