Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2026 (Основная волна)
Скопировать ссылку
5dde1276
Решите неравенство
2
log
2
(
3
x
−
1
)
+
9
x
−
11
⩽
0.
2^{\log_2(3^x-1)}+9^x-11\leqslant0.
2
l
o
g
2
(
3
x
−
1
)
+
9
x
−
11
⩽
0.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдём ОДЗ неравенства:
3
x
−
1
>
0
;
3
x
>
1
;
x
∈
(
0
;
+
∞
)
.
3^x -1>0; \quad 3^x>1; \quad x\in(0; +\infty).
3
x
−
1
>
0
;
3
x
>
1
;
x
∈
(
0
;
+
∞
)
.
Используя основное логарифмическое тождество, получим:
3
x
−
1
+
9
x
−
11
⩽
0
;
3^x -1 + 9^x -11\leqslant0;
3
x
−
1
+
9
x
−
11
⩽
0
;
3
2
x
+
3
x
−
12
⩽
0.
3^{2x} + 3^x -12\leqslant0.
3
2
x
+
3
x
−
12
⩽
0.
Пусть
3
x
=
t
,
3^x=t,
3
x
=
t
,
неравенство примет вид
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t^2+t-12\leqslant0.
t
2
+
t
−
12
⩽
0.
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t^2+t-12=0, ~~D=1+48=49;
t
2
+
t
−
12
=
0
,
D
=
1
+
48
=
49
;
t
1
=
−
1
−
7
2
=
−
4
,
t
2
=
−
1
+
7
2
=
3
;
t_1=\dfrac{-1-7}{2}=-4, \quad t_2=\dfrac{-1+7}{2}=3;
t
1
=
2
−
1
−
7
=
−
4
,
t
2
=
2
−
1
+
7
=
3
;
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
(t+4)(t-3)\leqslant0.
(
t
+
4
)
(
t
−
3
)
⩽
0.
Метод интервалов:
Значит,
−
4
⩽
t
⩽
3
-4 \leqslant t \leqslant 3
−
4
⩽
t
⩽
3
.
Выполним обратную замену:
{
3
x
⩾
−
4
,
3
x
⩽
3
;
\begin{cases}
3^x \geqslant -4, \\
3^x \leqslant 3;
\end{cases}
{
3
x
⩾
−
4
,
3
x
⩽
3
;
3
x
⩽
3
,
x
⩽
1.
3^x \leqslant 3, \quad x \leqslant 1.
3
x
⩽
3
,
x
⩽
1.
С учётом ОДЗ, получим
x
∈
(
0
;
1
]
.
x\in (0;1].
x
∈
(
0
;
1
]
.
Ответ:
(
0
;
1
]
.
(0;1].
(
0
;
1
]
.
