Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваЕГЭ 2026 (Основная волна)
Решите неравенство2log2(3x−1)+9x−11⩽0.
Решение
Запишем ограничение на логарифм. Так как функция 3x возрастает, получаем:3x−1>0⟺3x>30⟺x>0.По основному логарифмическому тождеству alogab=b:2log2(3x−1)=3x−1.Тогда исходное неравенство примет вид:3x−1+9x−11⩽0;32x+3x−12⩽0.Сделаем замену t=3x, тогдаt2+t−12⩽0.Разложим квадратный трёхчленt2+t−12 на множители. Для этого решим увранениеt2+t−12=0.Найдём дискриминант:D=12−4⋅(−12)=1+48=49.Тогда корни уравнения равныt1=2−1−7=−4,t2=2−1+7=3,поэтому(t+4)(t−3)⩽0.Решим неравенство методом интервалов:
−4⩽t⩽3.Сделаем обратную замену:{3x⩾−4,3x⩽3.Первое неравенство выполняется при любом x, так как 3x>0.
Решим второе неравенство. Функция 3x возрастает, поэтому3x⩽3⟺3x⩽31⟺x⩽1.С учётом ограничения x>0 получаем:
