Упростим показательные выражения:
4x=22x;2x+1=2x⋅21=2⋅2x;2x+5=2x⋅25=32⋅2x;4x+1=22(x+1)=22x⋅22=4⋅22x. Неравенство принимает следующий вид:
2x−522x+2⋅2x−36+2x−84⋅22x−32⋅2x+4⩽5⋅2x+7. Сделаем замену t=2x: t−5t2+2t−36+t−84t2−32t+4−5t−7⩽0. Заметим, что
t−5t2+2t−36=t−5t2+2t−35−t−51=t−5(t−5)(t+7)−t−51=t+7−t−51; t−84t2−32t+4=t−84t(t−8)+t−84=4t+t−84. Таким образом, неравенство принимает следующий вид:
t+7−t−51+4t+t−84−5t−7⩽0; t−84−t−51⩽0. Приводим к общему знаменателю:
(t−8)(t−5)4t−20−t+8⩽0; (t−8)(t−5)3(t−4)⩽0; (2x−23)(2x−2log25)3(2x−22)⩽0. По методу рационализации неравенство равносильно следующему:
(x−3)(x−log25)x−2⩽0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
