Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

МЦКО

Решите неравенство

3\cdot 25^{x^2 - 6x + 9} + 5\cdot 9^{x^2 - 6x + 9} \geqslant 8\cdot 15^{x^2 - 6x + 9}

Решение

Заметим, что

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

. Упростим показательные выражения, используя свойства степени:

25^{(x - 3)^2} = 5^{2(x - 3)^2},\quad 9^{(x - 3)^2} = 3^{2(x - 3)^2},\quad 15^{(x - 3)^2} = 3^{(x - 3)^2}\cdot 5^{(x - 3)^2}.

Разделим обе части неравенства на

9^{(x - 3)^2} > 0

3\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{2(x - 3)^2} - 8\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2} + 5 \geqslant 0.

Сделаем замену

t = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2}

, неравенство принимает следующий вид:

3t^2 - 8t + 5 \geqslant 0;

3(t - 1)\left(t - \dfrac{5}{3}\right) \geqslant 0.

Выполним обратную замену:

3\left(\left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2} - 1\right)\left(\left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2} - \dfrac{5}{3}\right) \geqslant 0;

\left(\left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2} - \left(\dfrac{5}{3}\right)^0\right)\left(\left(\dfrac{5}{3}\right)^{(x - 3)^2} - \left(\dfrac{5}{3}\right)^1\right) \geqslant 0.

С учётом того, что

\dfrac{5}{3} > 1

, воспользуемся методом рационализации:

(x - 3)^2((x - 3)^2 - 1) \geqslant 0;

(x - 3)^2(x - 4)(x - 2) \geqslant 0.

По методу интервалов получаем:

x \in (-\infty; 2]\cup\{3\}\cup [4;+\infty).

Ответ:

(-\infty; 2]\cup\{3\}\cup [4;+\infty)

Похожие задачи