Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваЕГЭ 2026 (Основная волна)
Решите неравенство5log5(9−x2)+x4−29⩾0.
Решение
Найдём ОДЗ неравенства:9−x2>0;(x−3)(x+3)<0;Воспользуемся методом интервалов:
x∈(−3;3).Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:5log5(9−x2)=9−x2.Тогда неравенство принимает следующий вид:9−x2+x4−29⩾0;x4−x2−20⩾0.Сделаем замену x2=t:t2−t−20⩾0.Решим уравнениеt2−t−20=0.Найдём дискриминант:D=(−1)2−4⋅1⋅(−20)=1+80=81=92.Тогда корни уравнения равныt1=21−9=−4,t2=21+9=5.Неравенство принимает вид:(t+4)(t−5)⩾0.Воспользуемся методом интервалов:
[t⩽−4,t⩾5.Сделаем обратную замену:[x2⩽−4,x2⩾5;Первое неравенство совокупности решений не имеет, так как x2⩾0 при всех x. Решим второе неравенство:x2−5⩾0;(x−5)(x+5)⩾0.По методу интервалов получаем:
