Тригонометрическая функция — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задачи с прикладным содержанием

СтатГрад 01.10.2025

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону

{U = U_0\sin (\omega t + \varphi)}

, где

t

— время в секундах,

U_0 = 2

В — амплитуда,

\omega =60^\circ

/с — частота,

\varphi=-15^\circ

— фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ:

Решение

1. Записываем закон изменения напряжения

По условию задачи напряжение изменяется по закону:

U(t) = U_0 \sin(\omega t + \varphi).

Подставляем известные значения:

U_0 = 2

В,

\omega = 60^\circ

/с,

\varphi = -15^\circ

U(t) = 2 \sin(60t - 15^\circ).

Лампочка горит, если напряжение не ниже 1 В, то есть:

U(t) \geq 1.

2. Составляем неравенство

2 \sin(60t - 15^\circ) \geq 1.

Делим обе части на 2:

\sin(60t - 15^\circ) \geq 0,5.

3. Решаем неравенство для первой секунды

Так как

t \in [0, 1]

, то

60t - 15^\circ \in [-15^\circ, 45^\circ]

.

Решаем неравенство

\sin x \geq 0,5

на промежутке

x \in [-15^\circ, 45^\circ]

.

Синус больше или равен 0,5 при:

30^\circ \leq x \leq 150^\circ.

Но верхняя граница

45^\circ < 150^\circ

, поэтому на рассматриваемом промежутке неравенство выполняется при:

30^\circ \leq x \leq 45^\circ.

4. Находим соответствующий промежуток времени

30^\circ \leq 60t - 15^\circ \leq 45^\circ.

Прибавляем

15^\circ

45^\circ \leq 60t \leq 60^\circ.

Делим на 60:

0,75 \leq t \leq 1.

Таким образом, лампочка горит на промежутке:

t \in [0,75; 1].

5. Находим длительность горения лампочки

\Delta t = 1 - 0,75 = 0,25 \text{ с}.

6. Находим часть времени в процентах

Общая длительность первой секунды равна 1 секунда.

Часть времени в процентах:

\frac{0,25}{1} \cdot 100\% = 25\%.

7. Вывод

\boxed{25}

Тригонометрическая функция — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи