Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (пересдача)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x|x| = ax - x -2

имеет единственное решение.

Решение

Перепишем уравнение в виде:

x|x| + 2 = ax - x. \quad (*)

Будем решать задачу графически в системе

Oxy

. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (*).

При

x \geqslant 0

левая часть (*) задаёт дугу параболы

y = x^2 + 2

, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке

(0; 2)

.

При

x < 0

получим дугу параболы

y = -x^2 + 2

, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке

(0; 2)

.

Правая часть (*) задаёт пучок прямых

y = (a-1)x

, вращающихся вокруг точки

(0;0)

.
Найдём значения параметра

a

, при которых

y = (a-1)x

при

x > 0

касается параболы

y = x^2 + 2

x^2 + 2 = (a-1)x, \quad x^2 -(a-1)x + 2 = 0.

Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:

D = (a-1)^2 - 8 = (a-1-2\sqrt{2})(a-1 + 2\sqrt{2}) = 0;

a = 1 - 2\sqrt{2}, \quad a = 1 + 2\sqrt{2}.

Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При

a = 1 - 2\sqrt{2}

x_{\text{кас}} = \dfrac{a-1}{2} = -\sqrt{2} < 0, \ \text{не подходит}.

При

a = 1 + 2\sqrt{2}

x_{\text{кас}} = \dfrac{a-1}{2} = \sqrt{2} > 0, \ \text{подходит}.

Начертим графики в системе

Oxy

и отметим ключевые положения прямой

y=(a-1)x

. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.

Нам нужно одно решение, что соответствует всем положениям до I, не включая его.

Положение I: прямая

y = (a-1)x

касается параболы

y = x^2 + 2

, то есть

a = 1 + 2\sqrt{2}

.

Ответ:

a \in (-\infty; 1+2\sqrt{2})

Похожие задачи