Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x∣x∣=ax−x−2 имеет единственное решение.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
x∣x∣+2=ax−x.(∗) Будем решать задачу графически в системе Oxy. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (*).
При x⩾0 левая часть (*) задаёт дугу параболы y=x2+2, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0;2).
При x<0 получим дугу параболы y=−x2+2, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0;2).
Правая часть (*) задаёт пучок прямых y=(a−1)x, вращающихся вокруг точки (0;0). Найдём значения параметра a, при которых y=(a−1)x при x>0 касается параболы y=x2+2:x2+2=(a−1)x,x2−(a−1)x+2=0. Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:
D=(a−1)2−8=(a−1−22)(a−1+22)=0;a=1−22,a=1+22. Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При a=1−22: xкас=2a−1=−2<0,неподходит. При a=1+22: xкас=2a−1=2>0,подходит. Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=(a−1)x. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Нам нужно одно решение, что соответствует всем положениям до I, не включая его.
Положение I: прямая y=(a−1)x касается параболы y=x2+2, то есть a=1+22.
