Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (пересдача)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x+1)|x+1| = 2x - a

имеет два различных решения.

Решение

Перепишем уравнение в виде:

a = 2x -(x+1)|x+1|. \quad (*)

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

.
При

x \leqslant -1

a = 2x + (x+1)^2 = 2x + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 1.

Получили параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке

x_{\text{В}} = \dfrac{-4}{2} = -2, \quad a_{\text{В}} = (-2)^2 + 4\cdot (-2) + 1 = -3.

Возьмём несколько дополнительных точек для построения графика:

$Изображение 1$

При

x > -1

a = 2x - (x+1)^2 = 2x - x^2 - 2x - 1 = -x^2 - 1.

Получили параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке

(0; -1)

.
Возьмём несколько дополнительных точек для построения графика:

$Изображение 2$

Запустим горизонтальную считывающую прямую. Количество точек её пересечения с построенным графиком при каждом

a

соответствует количеству решений исходной системы уравнений.

Нам подходит одно решение, что соответствует положениям I и II.

Положение I: прямая проходит через вершину параболы

y = x^2 + 4 x + 1

— точку

(-2, -3)

, то есть

a=-3

.

Положение II: прямая проходит через вершину параболы

y = -x^2 - 1

— точку

(0, -1)

, то есть

a=-1

.

Значит,

a\in \{-3; \ -1\}

.

Ответ:

a\in \{-3; \ -1\}

Похожие задачи