Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x+1)∣x+1∣=2x−a имеет два различных решения.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
a=2x−(x+1)∣x+1∣.(∗) Будем решать задачу графически в системе Oxa. При x⩽−1:a=2x+(x+1)2=2x+x2+2x+1=x2+4x+1. Получили параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке
xВ=2−4=−2,aВ=(−2)2+4⋅(−2)+1=−3. Возьмём несколько дополнительных точек для построения графика:
При x>−1:a=2x−(x+1)2=2x−x2−2x−1=−x2−1. Получили параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке
(0;−1). Возьмём несколько дополнительных точек для построения графика:
Запустим горизонтальную считывающую прямую. Количество точек её пересечения с построенным графиком при каждом a соответствует количеству решений исходной системы уравнений.
Нам подходит одно решение, что соответствует положениям I и II.
Положение I: прямая проходит через вершину параболы y=x2+4x+1 -- точку (−2,−3), то есть a=−3.
Положение II: прямая проходит через вершину параболы y=−x2−1 -- точку (0,−1), то есть a=−1.
