айдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
∣x2−4x+3∣=ax+2 имеет единственное решение.
Решение
Будем решать задачу графически в системе Oxy. Для этого построим графики левой и правой частей исходного уравнения.
Левая часть уравнения задаёт параболу y=x2−4x+3, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке:
xВ=2−(−4)=2,yВ=22−4⋅2+3=−1. При этом её часть, для которой y⩽0, нужно отразить симметрично относительно оси Ox. Корнями параболы y=x2−4x+3 являются x=1 и x=3. Правая часть (*) задаёт пучок прямых y=ax+2, вращающихся вокруг точки (0;2). Найдём значения параметра a, при которых y=ax+2 проходит через точку (1;0):0=a+2,a=−2. Найдём значения параметра a, при которых y=ax+2 проходит через точку (3;0): 0=3a+2,a=−32. Найдём значения параметра a, при которых y=ax+2 касается отражённой части параболы, то есть y=−(x2−4x+3):−x2+4x−3=ax+2,x2+x(a−4)+5=0. Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:
D=(a−4)2−20=(a−4+25)(a−4−25)=0;a=4−25,a=4+25. Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При a=4−25: xкас=24−a=5∈(1;3),подходит. При a=0: xкас=24−a=−5∈(1;3),неподходит. Найдём значения параметра a, при которых y=ax+2 касается параболы y=x2−4x+3 при x⩽1:x2−4x+3=ax+2,x2−x(a+4)+1=0. Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:
D=(a+4)2−4=(a+2)(a+6)=0;a=−6,a=−2. Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При a=−6: xкас=2a+4=−1⩽1,подходит. При a=−2: xкас=2a+4=1⩽1,подходит. Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=ax+2. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Нам нужно одно решение, что соответствует положениям I и II -- касанию параболы y=x2−4x+3, то есть a=−6 или a=−2.
