Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (пересдача)

айдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

|x^2 -4x +3| = ax + 2

имеет единственное решение.

Решение

Будем решать задачу графически в системе

Oxy

. Для этого построим графики левой и правой частей исходного уравнения.
Левая часть уравнения задаёт параболу

y = x^2 - 4x + 3

, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке:

x_{\text{В}} = \dfrac{-(-4)}{2} = 2, \quad y_{\text{В}} = 2^2 - 4\cdot 2 + 3 = -1.

При этом её часть, для которой

y\leqslant 0

, нужно отразить симметрично относительно оси

Ox

.
Корнями параболы

y = x^2 - 4x + 3

являются

x = 1

x = 3

.
Правая часть (*) задаёт пучок прямых

y = ax + 2

, вращающихся вокруг точки

(0;2)

.
Найдём значения параметра

a

, при которых

y = ax + 2

проходит через точку

(1; 0)

0 = a + 2, \quad a = -2.

Найдём значения параметра

a

, при которых

y = ax + 2

проходит через точку

(3; 0)

0 = 3a + 2, \quad a = -\dfrac{2}{3}.

Найдём значения параметра

a

, при которых

y = ax + 2

касается отражённой части параболы, то есть

y = -(x^2 - 4x + 3)

-x^2 + 4x - 3 = ax + 2, \quad x^2 + x(a-4) + 5 = 0.

Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:

D = (a-4)^2 - 20 = (a-4+2\sqrt{5})(a-4-2\sqrt{5}) = 0;

a = 4 - 2\sqrt{5}, \quad a = 4 + 2\sqrt{5}.

Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При

a = 4 - 2\sqrt{5}

x_{\text{кас}} = \dfrac{4-a}{2} = \sqrt{5} \in (1;3), \ \text{подходит}.

При

a = 0

x_{\text{кас}} = \dfrac{4-a}{2} = -\sqrt{5} \not \in (1;3), \ \text{не подходит}.

Найдём значения параметра

a

, при которых

y = ax + 2

касается параболы

y = x^2 - 4x + 3

при

x \leqslant 1

x^2 - 4x + 3 = ax + 2, \quad x^2 - x(a+4) + 1 = 0.

Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:

D = (a+4)^2 - 4 = (a+2)(a+6) = 0;

a = -6, \quad a = -2.

Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При

a = -6

x_{\text{кас}} = \dfrac{a+4}{2} = -1 \leqslant 1, \ \text{подходит}.

При

a = -2

x_{\text{кас}} = \dfrac{a+4}{2} = 1 \leqslant 1, \ \text{ подходит}.

Начертим графики в системе

Oxy

и отметим ключевые положения прямой

y=ax+2

. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.

Нам нужно одно решение, что соответствует положениям I и II -- касанию параболы

y = x^2 - 4x + 3

, то есть

a = -6

или

a = -2

.

Ответ:

a \in \{-6;-2\}

Похожие задачи