Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
1−4x=a−3∣x∣ имеет больше двух различных решений.
Решение
Сделаем замену t=1−4x,t⩾0. Заметим, что каждому значению t соответствует одно значение x, так как
t2=1−4x; x=41−t2. Тогда уравнение принимает следующий вид:
t=a−43∣1−t2∣; a=t+43∣t2−1∣. Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1) t∈[0;1]. Получаем:
a=−43t2+t+43. В осях Ota это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вниз. Найдём её вершину:
tв=−23−1=32,aв=−43⋅94+32+43=31+43=1213. 2) t∈(1;+∞). Получаем:
a=43t2+t−43. В осях Ota это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна 23−1=−32, то есть она находится левее 1.
Изобразим полученную функцию в осях Ota, а также основные положения горизонтальных прямых:
Положению Ⅰ соответствует значение 43,
положению ⅠⅠ соответствует значение 1,
положению ⅠⅠⅠ соответствует значение 1213. Больше двух решений мы получаем при a∈(1;1213).
