Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{1 - 4x} = a - 3|x|

имеет больше двух различных решений.

Решение

Сделаем замену

t = \sqrt{1 - 4x}

t \geqslant 0

. Заметим, что каждому значению

t

соответствует одно значение

x

, так как

t^2 = 1 - 4x;

x = \dfrac{1 - t^2}{4}.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

t = a - \dfrac{3}{4}|1 - t^2|;

a = t + \dfrac{3}{4}|t^2 - 1|.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

1)

t \in [0;1]

. Получаем:

a = -\dfrac{3}{4}t^2 + t + \dfrac{3}{4}.

В осях

Ota

это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вниз. Найдём её вершину:

t_{\text{в}} = \dfrac{-1}{-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3},\quad a_{\text{в}} = -\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{13}{12}.

t \in (1;+\infty)

. Получаем:

a = \dfrac{3}{4}t^2 + t - \dfrac{3}{4}.

В осях

Ota

это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна

\dfrac{-1}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{2}{3}

, то есть она находится левее

1

.

Изобразим полученную функцию в осях

Ota

, а также основные положения горизонтальных прямых:

Положению Ⅰ соответствует значение

\dfrac{3}{4}

,

положению ⅠⅠ соответствует значение

1

,

положению ⅠⅠⅠ соответствует значение

\dfrac{13}{12}

. Больше двух решений мы получаем при

a \in \left(1;\dfrac{13}{12}\right)

.

Ответ:

\left(1;\dfrac{13}{12}\right)

Похожие задачи