Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
∣1−3x∣=x+a имеет ровно два различных решения.
Решение
Сделаем замену t=x,t⩾0. Заметим, что каждому значению t соответствует одно значение x, так как t2=x.
Тогда уравнение принимает следующий вид:
a=−t2+∣3t−1∣. Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1) t∈[0;31]. Получаем:
a=−t2−3t+1. В осях Ota это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна −23, то есть она находится левее 0. 2) t∈(31;+∞). Получаем:
a=−t2+3t−1. В осях Ota это уравнение задаёт параболу с ветвями, направленными вниз. Найдём её вершину:
tв=23,aв=−49+29−1=45.
Изобразим полученную функцию в осях Ota, а также основные положения горизонтальных прямых:
Положению Ⅰ сощтветствует значение 1,
положению ⅠⅠ соответствует значение 45. Ровно два решения мы получаем при a∈(1;45).
