Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x∣x∣−4x=ax+a+4 имеет единственное решение.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
x∣x∣−4x−4=ax+a.(∗) Будем решать задачу графически в системе Oxy. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (*).
При x⩾0 левая часть (*) задаёт дугу параболы y=x2−4x−4, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке:
xВ=2−(−4)=2,yВ=22−4⋅2−4=−8. При x<0 получим дугу параболы y=−x2−4x−4=−(x+2)2, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (−2;0). Правая часть (*) задаёт пучок прямых y=(x+1)a, вращающихся вокруг точки (−1;0).
Найдём значения параметра a, при которых y=(x+1)a при x<0 касается параболы y=−(x+2)2:−x2−4x−4=a(x+1),x2+x(a+4)+4+a=0. Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:
D=(a+4)2−4(a+4)=a(a+4)=0;a=−4,a=0. Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При a=−4: xкас=−2a+4=0,неподходит. При a=0: xкас=−2a+4=−2<0,подходит. Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=a(x+1). Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Нам нужно одно решение, что соответствует всем положениям до I, не включая его.
Положение I: прямая y=a(x+1) касается параболы y=−(x+2)2, то есть a=0.
