Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (пересдача)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x|x| - 4x = ax + a + 4

имеет единственное решение.

Решение

Перепишем уравнение в виде:

x|x| - 4x - 4 = ax + a. \quad (*)

Будем решать задачу графически в системе

Oxy

. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (*).
При

x \geqslant 0

левая часть (*) задаёт дугу параболы

y = x^2 - 4x - 4

, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке:

x_{\text{В}} = \dfrac{-(-4)}{2} = 2, \quad y_{\text{В}} = 2^2 - 4\cdot 2 - 4 = -8.

При

x < 0

получим дугу параболы

y = -x^2 - 4x - 4 = - (x+2)^2

, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке

(-2; 0)

.
Правая часть (*) задаёт пучок прямых

y = (x+1)a

, вращающихся вокруг точки

(-1;0)

.

Найдём значения параметра

a

, при которых

y = (x+1)a

при

x < 0

касается параболы

y = -(x+2)^2

-x^2 -4x - 4 = a(x+1), \quad x^2 + x(a+4) + 4 + a = 0.

Случай касания соответствует случаю равенства нулю дискриминанта, тогда:

D = (a+4)^2 - 4(a+4) = a(a+4) = 0;

a = -4, \quad a = 0.

Найдём соответствующие абсциссы точек касания.
При

a = -4

x_{\text{кас}} = -\dfrac{a+4}{2} = 0, \ \text{не подходит}.

При

a = 0

x_{\text{кас}} = -\dfrac{a+4}{2} = -2 < 0, \ \text{подходит}.

Начертим графики в системе

Oxy

и отметим ключевые положения прямой

y=a(x+1)

. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.

Нам нужно одно решение, что соответствует всем положениям до I, не включая его.

Положение I: прямая

y = a(x+1)

касается параболы

y = -(x+2)^2

, то есть

a = 0

.

Ответ:

a \in (-\infty; 0)

Похожие задачи