Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=∣∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣∣ имеет единственный корень.
Решение
Уравнение вида ∣f(x)∣=g(x) равносильно системе
⎩⎨⎧g(x)⩾0,[f(x)=g(x),f(x)=−g(x). Таким образом, уравнение равносильно системе:
⎩⎨⎧∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣⩾0,[∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣,∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=−(∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣); ⎩⎨⎧x∈R,[2∣x2−ax+16∣=0,2∣16x−a2∣=0; [∣x2−ax+16∣=0,∣16x−a2∣=0.(1)(2) Рассмотрим уравнение (1): x2−ax+16=0; D=a2−64=(a−8)(a+8). При a∈(−∞;−8)∪(8;+∞) оно имеет два корня, при a=±8 оно имеет один корень, а при a∈(−8;8) корней нет.
Рассмотрим уравнение (2): 16x−a2=0; x=16a2. Этот корень существует при всех значениях a.
Значит, возможны два случая, когда исходное уравнение имеет одно решение:
1) Уравнение (1) не имеет решений, притом что уравнение (2) всегда имеет одно решение. Это происходит при a∈(−8;8). 2) Уравнение (1) имеет одно решение, совпадающее с решением (2).
Проверим значения a=±8:
а) При a=8 имеем x=4. Подставим в (1): 42−8⋅4+16=16−32+16=0. То есть a=8 нам подходит.
б) При a=−8 имеем x=4. Подставим в (1): 42+8⋅4+16=16+32+16=64. То есть a=8 нам не подходит.
Объединяя все найденные значения, получаем a∈(−8;8].
