Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=∣∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣∣имеет единственный корень.
Решение
Уравнение вида ∣f(x)∣=g(x) равносильно системе⎩⎨⎧g(x)⩾0,[f(x)=g(x),f(x)=−g(x).Таким образом, уравнение равносильно системе:⎩⎨⎧∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣⩾0,[∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣,∣x2−ax+16∣+∣16x−a2∣=−(∣x2−ax+16∣−∣a2−16x∣);⎩⎨⎧x∈R,[2∣x2−ax+16∣=0,2∣16x−a2∣=0;[∣x2−ax+16∣=0,∣16x−a2∣=0.(1)(2)Рассмотрим уравнение (1):x2−ax+16=0;D=a2−64=(a−8)(a+8).При a∈(−∞;−8)∪(8;+∞) оно имеет два корня, при a=±8 оно имеет один корень, а при a∈(−8;8) корней нет.
Рассмотрим уравнение (2):16x−a2=0;x=16a2.Этот корень существует при всех значениях a.
Значит, возможны два случая, когда исходное уравнение имеет одно решение:
1) Уравнение (1) не имеет решений, притом что уравнение (2) всегда имеет одно решение. Это происходит при a∈(−8;8). 2) Уравнение (1) имеет одно решение, совпадающее с решением (2).
Проверим значения a=±8:
а) При a=8 имеем x=4. Подставим в (1):42−8⋅4+16=16−32+16=0.То есть a=8 нам подходит. б) При a=−8 имеем x=4. Подставим в (1):42+8⋅4+16=16+32+16=64.То есть a=8 нам не подходит.
Объединяя все найденные значения, получаем a∈(−8;8].
