Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 16.12.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

|x^2 - ax + 16| + |16x - a^2| = ||x^2 - ax + 16| - |a^2 - 16x||

имеет единственный корень.

Решение

Уравнение вида

|f(x)| = g(x)

равносильно системе

\begin{cases} g(x) \geqslant 0,\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x),\\ f(x) = -g(x). \end{array} \right. \end{cases}

Таким образом, уравнение равносильно системе:

\begin{cases} |x^2 - ax + 16| + |16x - a^2| \geqslant 0,\\ \left[ \begin{array}{l} |x^2 - ax + 16| + |16x - a^2| = |x^2 - ax + 16| - |a^2 - 16x|,\\ |x^2 - ax + 16| + |16x - a^2| = -(|x^2 - ax + 16| - |a^2 - 16x|); \end{array} \right. \end{cases}

\begin{cases} x \in \mathbb{R},\\ \left[ \begin{array}{l} 2|x^2 - ax + 16| = 0,\\ 2|16x - a^2| = 0; \end{array} \right. \end{cases}

\left[ \begin{array}{lc} |x^2 - ax + 16| = 0, & (1)\\ |16x - a^2| = 0. & (2) \end{array} \right.

Рассмотрим уравнение

(1)

x^2 - ax + 16 = 0;

D = a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8).

При

a \in (-\infty; -8)\cup (8; +\infty)

оно имеет два корня, при

a = \pm 8

оно имеет один корень, а при

a \in (-8; 8)

корней нет.

Рассмотрим уравнение

(2)

16x - a^2 = 0;

x = \dfrac{a^2}{16}.

Этот корень существует при всех значениях

a

.

Значит, возможны два случая, когда исходное уравнение имеет одно решение:

1) Уравнение

(1)

не имеет решений, притом что уравнение

(2)

всегда имеет одно решение. Это происходит при

a \in (-8; 8)

.
2) Уравнение

(1)

имеет одно решение, совпадающее с решением

(2)

.

Проверим значения

a = \pm 8

:

а) При

a = 8

имеем

x = 4

. Подставим в

(1)

4^2 - 8\cdot 4 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0.

То есть

a = 8

нам подходит.
б) При

a = -8

имеем

x = 4

. Подставим в

(1)

4^2 + 8\cdot 4 + 16 = 16 + 32 + 16 = 64.

То есть

a = 8

нам не подходит.

Объединяя все найденные значения, получаем

a\in (-8;8]

.

Ответ:

(-8;8]

Похожие задачи