Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Теория чиселДосрок 2024
Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, которые использовали по одному разу, составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны 45.


а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?

б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?

в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

Решение

Пусть xxx и yyy полученные числа, тогда x+y=2205x+y = 2205x+y=2205. Заметим, что число крато 454545 тогда и только тогда, когда оно кратно и 555, и 999. Следовательно, числа xxx и yyy оканчиваются на 000 или на 555, а сумма цифр каждого числа должна быть кратна 999.

Также заметим, что сумма цифр исходного набора равна 272727, которую необходимо разбить на две группы. Это возможно, если сумма цифр в одном числе равна 999, а в другом --- 181818.

а) Да, например 1935+270=20251935+270=20251935+270=2025.


б) Так как числа xxx и yyy кратны 454545, то и сумма x+yx+yx+y кратна 454545, но число 343534353435 не кратно 45, следовательно, равенство невозможно.


в) Предположим, что цифра 9 входит в разряд сотен трехзначного числа, где третья по счету цифра равна либо 0, либо 5. Тогда, чтобы полученное трехзначное число делилось на 9, необхожимо, чтобы в разряде десятков стояла цифра 9 или 4 соответственно, что противоречит условию. Таким образом, цифра 9 входит в разряд тысяч четырёхзначного числа.

Рассмотрим два случая:


1) Если цифры 999 и 000, входят в состав одного числа, то оставшиеся цифры должны быть 777 и 222, чтобы полученное число было кратно 9. Тогда наибольшее такое число равно 972097209720, а трехзначное --- 315315315. Тогда сумма полученных чисел равна 9720+315=10035.9720 +315 = 10035.9720+315=10035.

2) Если цифры 999 и 555, входят в состав одного числа, то оставшиеся цифры должны быть 333 и 111, чтобы полученное число было кратно 9. Тогда наибольшее такое число равно 931593159315, а трехзначное --- 720720720. Тогда сумма полученных чисел равна 9315+720=10035.9315 + 720 = 10035.9315+720=10035.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 100351003510035.