Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2024 (досрок)

Из цифр

0

1

2

3

5

7

9

, которые использовали по одному разу, составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны

45

.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна

2205

?

б) Может ли сумма этих чисел равна

3435

?

в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

Решение

Пусть

x

y

полученные числа, тогда

x+y = 2205

. Заметим, что число крато

45

тогда и только тогда, когда оно кратно и

5

, и

9

. Следовательно, числа

x

y

оканчиваются на

0

или на

5

, а сумма цифр каждого числа должна быть кратна

9

.

Также заметим, что сумма цифр исходного набора равна

27

, которую необходимо разбить на две группы. Это возможно, если сумма цифр в одном числе равна

9

, а в другом ---

18

.

а) Да, например

1935+270=2025

.

б) Так как числа

x

y

кратны

45

, то и сумма

x+y

кратна

45

, но число

3435

не кратно 45, следовательно, равенство невозможно.

в) Предположим, что цифра 9 входит в разряд сотен трехзначного числа, где третья по счету цифра равна либо 0, либо 5. Тогда, чтобы полученное трехзначное число делилось на 9, необхожимо, чтобы в разряде десятков стояла цифра 9 или 4 соответственно, что противоречит условию. Таким образом, цифра 9 входит в разряд тысяч четырёхзначного числа.

Рассмотрим два случая:

1) Если цифры

9

0

, входят в состав одного числа, то оставшиеся цифры должны быть

7

2

, чтобы полученное число было кратно 9. Тогда наибольшее такое число равно

9720

, а трехзначное ---

315

. Тогда сумма полученных чисел равна

9720 +315 = 10035.

2) Если цифры

9

5

, входят в состав одного числа, то оставшиеся цифры должны быть

3

1

, чтобы полученное число было кратно 9. Тогда наибольшее такое число равно

9315

, а трехзначное ---

720

. Тогда сумма полученных чисел равна

9315 + 720 = 10035.

Ответ: а) Да; б) Нет; в)

10035

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи