Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что AM=MO,CN=NO.
а) Докажите, что точки M,N и O лежат на одной прямой.
б) Найдите AM:MB, если известно, что AO=OC и BC:AD=1:7.
Решение
а) Так как AO --- биссектриса угла ∠BAD, то ∠MAO=∠OAD. По условию AM=MO. Значит, △AMO равнобедренный, поэтому ∠MAO=∠AOM. Следовательно,
∠AOM=∠OAD.
А значит,
MO∥AD.
Аналогично, так как CO --- биссектриса угла ∠BCD, то ∠NCO=∠BCO. По условию CN=NO. Значит, △CNO равнобедренный, поэтому ∠NCO=∠CON. Следовательно,
∠CON=∠BCO.
А значит,
NO∥BC.
Так как основания трапеции параллельны, то
AD∥BC.
Получаем, что через точку O проходят две прямые MO и NO, обе параллельные основаниям трапеции. Значит, это одна и та же прямая.
Следовательно, точки M,N и O лежат на одной прямой.
б) Из пункта а) получили, что M,O,N лежат на одной прямой, причем
MN∥AD∥BC.
Опустим из точки O перпендикуляр OH на основание AD. Из точки C опустим перпендикуляры CL и CP на прямые MN и AD соответственно.
Так как трапеция равнобедренная, то
∠BAD=∠CDA.
Кроме того, так как AD∥BC, то
∠BAD+∠BCD=180∘.
Поскольку AO и CO --- биссектрисы этих углов, получаем:
∠OAD+∠OCB=2∠BAD+∠BCD=2180∘=90∘.
Пусть ∠OAD=α. Тогда ∠OCB=90∘−α.
Так как BC∥AD, то ∠OCL=α.
Рассмотрим прямоугольные треугольники △AHO и △OCL.
По условию AO=OC. Кроме того,
∠OAH=αи∠OCL=α.
Значит, прямоугольные треугольники △AHO и △OCL равны. Поэтому
AH=CL,OH=OL.
Так как OH⊥AD,CL⊥MN и MN∥AD, то четырехугольник OLPH --- прямоугольник. А из равенства OH=OL следует, что OLPH --- квадрат.
Значит,
HP=OL=LP=OH.
Тогда
AP=AH+HP=CL+LP=CP.
По условию BC:AD=1:7, тогда обозначим
BC=a,AD=7a.
Так как трапеция равнобедренная, то проекции боковых сторон на основание AD равны. Значит,
PD=2AD−BC=27a−a=3a.
Тогда
AP=AD−PD=7a−3a=4a.
Но выше мы доказали, что AP=CP, значит,
CP=4a.
Так как AO --- биссектриса ∠BAD, то ∠BAD=2α. Трапеция ABCD равнобедренная, значит, углы при основании AD равны:
∠BAD=∠CDA=2α.
В прямоугольном треугольнике △CPD имеем:
tg2α=PDCP=3a4a=34.
По формуле тангенса двойного угла:
tg2α=1−tgα22tgα.
Пусть tgα=t.
Получаем:
1−t22t=34.
Тогда
6t=4(1−t2),6t=4−4t2,4t2+6t−4=0,2t2+3t−2=0.
Отсюда
t=21илиt=−2.
Так как α --- острый угол, то tgα>0. Значит,
tgα=21.
Теперь найдем отношение AM:MB.
Вернемся к прямоугольному треугольнику △AHO: tgα=AHOH=21, значит,
AH=2OH.
Так как OLPH --- квадрат, то HP=OH. Тогда
AP=AH+HP=2OH+OH=3OH.
Но выше получили, что AP=4a. Значит,
3OH=4a, OH=34a.
Так как OLPH --- квадрат, то
LP=OH=34a.
Кроме того, CP=4a. Тогда
CL=CP−LP=4a−34a=38a.
Прямые AD,MN и BC параллельны. Значит, по обобщенной теореме Фалеса эти параллельные прямые отсекают на боковой стороне AB отрезки, пропорциональные расстояниям между параллельными прямыми:
MBAM=CLLP.
