Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что AM=MO,CN=NO.
а) Докажите, что точки M,N и O лежат на одной прямой.
б) Найдите AM:MB, если известно, что AO=OC и BC:AD=1:7.
Решение
а) Так как AO --- биссектриса угла ∠BAD, то ∠MAO=∠OAD. По условию AM=MO. Значит, △AMO равнобедренный, поэтому ∠MAO=∠AOM. Следовательно,∠AOM=∠OAD.А значит,MO∥AD.Аналогично, так как CO --- биссектриса угла ∠BCD, то ∠NCO=∠BCO. По условию CN=NO. Значит, △CNO равнобедренный, поэтому ∠NCO=∠CON. Следовательно,∠CON=∠BCO.А значит,NO∥BC.Так как основания трапеции параллельны, тоAD∥BC.Получаем, что через точку O проходят две прямые MO и NO, обе параллельные основаниям трапеции. Значит, это одна и та же прямая.
Следовательно, точки M,N и O лежат на одной прямой.
б) Из пункта а) получили, что M,O,N лежат на одной прямой, причемMN∥AD∥BC.Опустим из точки O перпендикуляр OH на основание AD. Из точки C опустим перпендикуляры CL и CP на прямые MN и AD соответственно.
Так как трапеция равнобедренная, то∠BAD=∠CDA.Кроме того, так как AD∥BC, то∠BAD+∠BCD=180∘.Поскольку AO и CO --- биссектрисы этих углов, получаем:∠OAD+∠OCB=2∠BAD+∠BCD=2180∘=90∘.Пусть ∠OAD=α. Тогда ∠OCB=90∘−α.
Так как BC∥AD, то ∠OCL=α.
Рассмотрим прямоугольные треугольники △AHO и △OCL.
По условию AO=OC. Кроме того,∠OAH=αи∠OCL=α.Значит, прямоугольные треугольники △AHO и △OCL равны. ПоэтомуAH=CL,OH=OL.Так как OH⊥AD,CL⊥MN и MN∥AD, то четырехугольник OLPH --- прямоугольник. А из равенства OH=OL следует, что OLPH --- квадрат.
Значит,HP=OL=LP=OH.ТогдаAP=AH+HP=CL+LP=CP.По условию BC:AD=1:7, тогда обозначимBC=a,AD=7a.Так как трапеция равнобедренная, то проекции боковых сторон на основание AD равны. Значит,PD=2AD−BC=27a−a=3a.ТогдаAP=AD−PD=7a−3a=4a.Но выше мы доказали, что AP=CP, значит,CP=4a.Так как AO --- биссектриса ∠BAD, то ∠BAD=2α. Трапеция ABCD равнобедренная, значит, углы при основании AD равны:∠BAD=∠CDA=2α.В прямоугольном треугольнике △CPD имеем:tg2α=PDCP=3a4a=34.По формуле тангенса двойного угла:tg2α=1−tgα22tgα.Пусть tgα=t.
Получаем:1−t22t=34.Тогда6t=4(1−t2),6t=4−4t2,4t2+6t−4=0,2t2+3t−2=0.Отсюдаt=21илиt=−2.Так как α --- острый угол, то tgα>0. Значит,tgα=21.Теперь найдем отношение AM:MB.
Вернемся к прямоугольному треугольнику △AHO:tgα=AHOH=21,значит,AH=2OH.Так как OLPH --- квадрат, то HP=OH. ТогдаAP=AH+HP=2OH+OH=3OH.Но выше получили, что AP=4a. Значит,3OH=4a,OH=34a.Так как OLPH --- квадрат, тоLP=OH=34a.Кроме того, CP=4a. ТогдаCL=CP−LP=4a−34a=38a.Прямые AD,MN и BC параллельны. Значит, по обобщенной теореме Фалеса эти параллельные прямые отсекают на боковой стороне AB отрезки, пропорциональные расстояниям между параллельными прямыми:MBAM=CLLP.Подставим найденные значения:MBAM=38a34a=21.Следовательно,AM:MB=1:2.Ответ: 1:2.
