Трапеции

В трапеции ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает боковую сторону CD в точке M и делит эту сторону пополам. а) Докажите, что треугольник ABM прямоугольный. б) Найдите AM, если средняя линия трапеции равна 12,5, а BM=7.

В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписана окружность с центром O и проведена высота CH. а) Докажите, что AH = AB. б) Найдите длину диагонали AC, если известно, что средняя линия трапеции равна 4√(5), а ∠ AOD = 150^∘.

Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основаниями AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника. а) Докажите, что ∠ ABC = ∠ ACD. б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и cos∠ CAD = 35.

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что AM=MO, CN=NO. а) Докажите, что точки M, N и O лежат на одной прямой. б) Найдите AM:MB, если известно, что AO=OC и BC:AD=1:7.

Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD и не имеет общих точек с прямой CD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD и не имеет общих точек с прямой AB. а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основанию трапеции ABCD. б) Найдите длину отрезка O_1O_2, если AB = 10, BC = 15, CD = 12, AD = 19.