В трапеции ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает боковую сторону CD в точке M и делит эту сторону пополам.
а) Докажите, что треугольник ABM прямоугольный.
б) Найдите AM, если средняя линия трапеции равна 12,5, а BM=7.
Решение
а) Пусть N -- середина AB, тогда MN -- средняя линия трапеции.
∠AMN=∠MAD как накрест лежащие при MN∥AD и секущей AM.
∠MAN=∠MAD, так как AM -- биссектриса. Значит, ∠MAN=∠AMN, тогда △MAN -- равнобедренный, то есть AN=MN.
Получили, что NM -- медиана треугольника MAB, равная половине стороны, к которой она проведена, следовательно, ∠AMB=90∘, значит, △MAB -- прямоугольный, ч.т.д.
б) Из пункта а) получили, что AB=2MN=25. В △MAB по теореме Пифагора:
AB2=AM2+BM2,AM=AB2−BM2=625−49=24.
