Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основаниями AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что ∠ABC=∠ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC=18,AD=50 и cos∠CAD=53.
Решение
а) ∠ACB=∠CAD как накрест лежащие при BC∥AD и секущей AC.
Из подобия треугольников ABC и CAD следует два случая.
Если ∠ABC=∠CDA=α, то ∠BAD=180∘−α, из чего следует параллельность сторон AB и CD, что противоречит условию. Значит, ∠ABC=∠ACD, ч.т.д.
б) Пусть M и N -- середины сторон BC и AD соответственно, а MQ и CP -- высоты трапеции.
Так как △ABC∼△CAD (из пункта а), то справедливо отношение:
ADAC=ACBC,AC=AD⋅BC=50⋅18=30. Из △ACP: AP=AC⋅cos∠CAD=30⋅53=18=BC. Значит, ABCP -- прямоугольник.
QMCP -- прямоугольник, тогда CM=QP=9,MQ=CP=AC⋅sin∠CAD=30⋅54=24. Заметим, что QN=AN−AQ=25−9=16.
В △MQN по теореме Пифагора:
MN2=MQ2+QN2,MN=MQ2+QN2=242+162=813.
