Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГЭ 2024 (резерв)

В трапеции

{ABCD}

боковая сторона

{AB}

перпендикулярна основаниям. Из точки

{A}

на сторону

{CD}

опустили перпендикуляр

AH

. Точка

E

принадлежит стороне

{AB}

, прямые

CD

CE

перпендикулярны.

а) Докажите, что прямая

BH

параллельна прямой

ED

.

б) Найдите отношение

BH

ED

, если

\angle{BCD}=135^{\circ}

Решение

а) Так как

EC \perp CD

AB \perp AD

, то

\angle ECD + \angle BAD = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}

. Значит, четырёхугольник

AECD

— вписанный. Следовательно,

\angle CAE = \angle CDE

как вписанные и опирающиеся на одну дугу

CE

.
Так как

AH \perp CD

AB \perp BC

, то

\angle AHC + \angle ABC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}

. Значит, четырёхугольник

ABCH

— вписанный. Следовательно,

\angle CAB = \angle CHB

как вписанные и опирающиеся на одну дугу

BC

.
Получаем, что

\angle CHB = \angle CDE

, значит,

BH \parallel ED

, так как равны соответствующие углы при этих прямых и секущей

CD

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Так как

\angle BCD = 135^{\circ}

, то

\angle CDA = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}

как односторонние углы при боковой стороне трапеции

ABCD

.
При этом

\angle BCH + \angle ABH = 180^{\circ}

, так как четырёхугольник

ABCH

— вписанный. Значит,

\angle BAH = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}

.
Для окружности, описанной около

AECD

, диаметром является отрезок

ED

, так как на него опирается прямой угол. Аналогично получаем, что

EC

— диаметр окружности, описанной около

ABCH

.
По теореме синусов для

\triangle ACD

\dfrac{AC}{\sin \angle CDA} = 2R, \quad \dfrac{AC}{\sin 45^{\circ}} = ED.

По теореме синусов для

\triangle ABH

\dfrac{BH}{\sin \angle ABH} = 2R, \quad \dfrac{BH}{\sin 45^{\circ}} = AC, \quad BH = AC \cdot \sin 45^{\circ}.

Получаем, что:

\dfrac{BH}{ED} = \dfrac{AC \cdot \sin 45^{\circ}}{\dfrac{AC}{\sin 45^{\circ}}} = \sin ^2 45^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

$Изображение 2$

Ответ:

\dfrac{1}{2}

Похожие задачи