В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED. б) Найдите отношение BH к ED, если ∠BCD=135∘.
Решение
а) Так как EC⊥CD и AB⊥AD, то ∠ECD+∠BAD=90∘+90∘=180∘. Значит, четырёхугольник AECD -- вписанный. Следовательно, ∠CAE=∠CDE как вписанные и опирающиеся на одну дугу CE. Так как AH⊥CD и AB⊥BC, то ∠AHC+∠ABC=90∘+90∘=180∘. Значит, четырёхугольник ABCH -- вписанный. Следовательно, ∠CAB=∠CHB как вписанные и опирающиеся на одну дугу BC. Получаем, что ∠CHB=∠CDE, значит, BH∥ED, так как равны соответствующие углы при этих прямых и секущей CD, ч.т.д.
б) Так как ∠BCD=135∘, то ∠CDA=180∘−135∘=45∘ как односторонние углы при боковой стороне трапеции ABCD. При этом ∠BCH+∠ABH=180∘, так как четырёхугольник ABCH -- вписанный. Значит, ∠BAH=180∘−135∘=45∘. Для окружности, описанной около AECD, диаметром является отрезок ED, так как на него опирается прямой угол. Аналогично получаем, что EC -- диаметр окружности, описанной около ABCH. По теореме синусов для △ACD: sin∠CDAAC=2R,sin45∘AC=ED. По теореме синусов для △ABH: sin∠ABHBH=2R,sin45∘BH=AC,BH=AC⋅sin45∘. Получаем, что:
EDBH=sin45∘ACAC⋅sin45∘=sin245∘=21.
