Основание AD трапеции ABCD является диаметром окружности, проходящей через середину стороны AB и касающейся прямой CD.
а)Докажите, что треугольник ABD равнобедренный.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если BC=4,∠BDC=30∘.
Решение
а) Пусть M -- середина AB.∠AMD -- вписанный и опирается на диаметр, следовательно, ∠AMD=90∘. Таким образом, DM -- медиана и высота △ABD, значит, △ABD -- равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) Так как CD -- касательная к оружности, то ∠ADC=90∘=∠BCD. В прямоугольном треугольнике BCD катет BC лежит против угла 30∘, значит
BD=2BC=2⋅4=8=AD.
ctg30∘=BCCD⇒CD=BCctg30∘=43. Таким образом, площадь трапеции ABCD равна:
SABCD=2AD+BC⋅CD=24+8⋅43=243.
