В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписана окружность с центром O и проведена высота CH.
а) Докажите, что AH=AB.
б) Найдите длину диагонали AC, если известно, что средняя линия трапеции равна 45, а ∠AOD=150∘.
Решение
а) Пусть K,L,M,N -- точки касания окружности со сторонами AD,AB,BC и CD соответственно. Тогда AL=AK и BL=BM=MC как отрезки касательных, проведённых из одной точки.
CMKH -- прямоугольник, значит, CM=KH. Тогда получаем, что
AB=AL+LB=AK+KH=AK+MC=AH,ч.т.д.
б) Так как ABCD -- описанный четырёхугольник, то верно равенство:
BC+AD=AB+CD,2⋅45=2AB,AB=CD=45. Так как AO и DO -- биссектрисы углов ∠A и ∠D трапеции, то △AOD -- равнобедренный.
Тогда ∠ODA=2180∘−150∘=15∘, значит, ∠CDA=30∘.
Из прямоугольного △CHD по свойству катета, лежащего против угла в 30∘, получаем:
CH=21CD=21⋅45=25.
Из △ACH по теореме Пифагора:
AC2=AH2+CH2,AC=AH2+CH2=80+20=10.
